Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDienstag, 24. September 2019 

Kategorientheorie


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
Die Kategorientheorie oder kategorielle Algebra ist ein Zweig der Mathematik der sich Anfang der 1940er Jahre zuerst im Rahmen der Topologie entwickelte; MacLane nennt seine 1945 gemeinsam mit Eilenberg entstandene »General Theory Natural Equivalences« (in Trans. Amer. Math. Soc. 58 1945) die erste explizit kategorientheoretische Arbeit. Grundbegriffe sind Kategorie Funktor und natürliche Transformation . Um den letzteren Begriff zu präzisieren die anderen eingeführt.

Die Sprache der Kategorien hat in Bereichen der Mathematik Eingang gefunden. Es ist möglich die Mengenlehre mithin die gesamte restliche Mathematik in Kategorien den Topoi auszudrücken. Die Kategorientheorie ist ähnlich allgemeiner Ansatz wie die universelle Algebra freilich von ganz anderer Art.

Inhaltsverzeichnis

Begriffe

Eine Kategorie ist durch eine Klasse von Pfeilen (oder Morphismen ) und eine dazugehörige Klasse von Objekten gegeben die die folgenden Axiome erfüllen. Die Komposition von Morphismen ist im folgenden durch "Kringel" o dargestellt.

  1. Zu jedem Pfeil f gibt es zwei Objekte die Quelle dom f und das Ziel cod f (können zusammenfallen).
  2. Zu jedem Objekt A gibt es (genau) einen Pfeil id (A) für den gilt dom id(A) = id(A) = A. (Identität)
  3. Zu jedem Paar von Pfeilen f g mit cod f = dom g gibt es (genau) einen Pfeil h = f o g mit dom h = dom f und cod h = cod g . (Komposition)
  4. Die Komposition ist assoziativ d.h. soweit gilt f o ( g o h ) = ( f o g ) o h .
  5. Die Identitäten sind bezüglich der Komposition id(dom f ) o f = f = f o id(cod f )

Die Morphismen von X nach Y einer Kategorie K bilden eine Menge die Mor (X Y) oder K (X Y) notiert. Sind alle Objekte und einer Kategorie U auch Objekte bzw. Morphismen Kategorie K so nennt man U eine Unterkategorie von K. Gilt für alle Objekte Y in U: U(X Y) = K(X so heist die Unterkategorie voll . So ist die Kategorie der abelschen Gruppen eine volle Unterkategorie der Kategorie der

Eine Kategorie heißt klein wenn die Klasse ihrer Objekte eine ist viele wichtige Kategorien sind aber nicht

Einen Morphismus von Kategorien nennt man Funktor . Er ordnet also »strukturerhaltend« Objekten und der einen solche der anderen Kategorie zu gilt: F( f o g ) = (F f ) o (F g ) woraus F Id X = Id X folgt. Funktoren behandeln also die Beziehungen ganz verschiedenen Strukturen genauso wie Beziehungen innerhalb Struktur.

Seien S T Funktoren zwischen den K L: dann nennt man H eine natürliche Transformation von S nach T wenn es jedem X in Ob K einen Morphismus in L gibt mit: wenn f ein Morphismus in K(X Y) ist gilt: S f in L(SX SY) und T f in L(Tx TY) und HY S f = T f HX.

Beispiele und Ergänzungen

Die Axiome für Kategorien sind sehr es gibt also sehr viele Beispiele und sind keinewegs alle ähnlich. Immerhin kann man Reihe von Standardkategorien an den Anfang stellen:

Einige Kategorien
Notation Objekte Morphismen
Set Mengen Abbildungen
Top Topologische Räume stetige Abbildungen
Grp Gruppen Gruppenhomomorphismen

Warnung: Kategorie kommt in der Mathematik noch einmal ganz anderer Bedeutung vor nämlich in der Topologie (Mathematik) als Baire-Kategorie

Mathematical Subject Classification (2000): 18-XX (mit homologischer Algebra in 18Gxx)

Siehe auch: Homologische Algebra sowie Kategorie (Allgemeinbegriff) und Kategorie in der Philosophie

Literatur

  • MacLane Saunders: Kategorien : Begriffssprache und mathematische Theorie Berlin 1972 vii 295 pp. -- for the Working Mathematician <1971 dt.>) vergriffen engl. Ausgabe ISBN 0-387-98403-8
  • Borceux Francis: Handbook of categorical algebra 3 vol (1: Basic category theory; Categories and structures; 3: Categories of sheaves). Cambridge 1994. (Encyclopedia of Mathematics and its 50/52) ISBN 0-521-44178-1 0-521-44179-X 0-521-44180-3

Weblinks



Bücher zum Thema Kategorientheorie

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Kategorientheorie.html">Kategorientheorie </a>