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Kegel (Geometrie)


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In der Geometrie ist ein Kegel ein Körper der durch eine Kreisfläche umschlossen vom Basiskreis und einen Punkt der Spitze begrenzt ist. Dabei liegt die Spitze in der gleichen Ebene wie die Kreisfläche.

Vereinzelt wird für Kegel auch das Wort Konus verwendet mit dem zugehörigen Eigenschaftswort konisch .

Die Gerade auf welcher der Mittelpunkt Basiskreises und die Spitze liegen nennt man Achse des Kegels. Der Mantel ist jener Teil der Oberfläche der nicht durch den Basiskreis gebildet Die Ebene in der der Basiskreis liegt Basisebene (oder Basiskreisebene). Als Höhe ( h ) des Kegels wird der Normalabstand von Basiskreisebene und der Spitze bezeichnet. Unter Radius ( r ) des Kegels versteht man normalerweise den Radius des Basiskreises. Steht die Achse senkrecht auf die Basisebene spricht man von geraden Kegel oder Drehkegel ansonsten von einem schiefen Kegel . Bei einem Drehkegel werden die Verbindungslinien Basiskreis zur Spitze Erzeugende genannt (m) da sie den Mantel Der Winkel zwischen Erzeugenden und Achse eines Drehkegels Öffnungswinkel (φ).

Inhaltsverzeichnis

Formeln


Volumen : <math>V=\frac{r^2\pi{}h}{3}</math>
Oberfläche :
des Mantels
eines Drehkegels:
<math>M = \pi \cdot r \cdot s</math> s die Länge der Erzeugenden ist.

Beweise

Volumen

Ein beliebter Beweis mit Hilfe der Integration

Die Gerade aus der Zeichnung ist so definiert Geradengleichung ):

<math>g: y=\frac{r}{h}\cdot x</math>

Man lässt den Körper nun an x-Achse rotieren:

<math> V=\pi\int_{0}^{h} \frac{r^2}{h^2}\cdot x^2\ dx</math>
<math> V=\pi\cdot [\frac{r^2}{h^2}\cdot \frac{x^3}{3}]^h_0</math>

Nun bestimmt man das Integral

<math> V=\frac{r^2\cdot \pi\cdot h^3}{h^2\cdot 3}</math>

und kommt zur bekannten Formel

<math> V=\frac{r^2\cdot \pi\cdot h}{3}</math>

Doppelkegel

Ein Doppelkegel entsteht als Rotationsfläche einer Geraden um eine sie nicht rechtwinkelig schneidende Achse. Es entstehen zwei Drehkegel dem gleichen Öffnungswinkel und einer gemeinsamen Achse sich in der Spitze berühren. Schneidet man solchen unendlichen Doppelkegel mit einer Ebene entstehen die so Kegelschnitte : Kreis Ellipse Parabel und Hyperbel

Verallgemeinerung

Man verallgemeinert die Eigenschaft des (unendlichen) aus Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt zu bestehen kegelförmigen Mengen zu denen dann z.B. auch eine hohe Pyramide gehört. Besonderes Interesse gilt dabei den konvexen Kegeln die in der linearen Optimierung Rolle spielen.




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