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Konfidenzintervall


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Mit einem Konfidenzintervall kann man in der Mathematik die Lage eines Parameters mit einer Wahrscheinlichkeit abschätzen.

Man interessiert sich für den unbekannten einer Zufallsvariablen. Der „wahre“ Parameter Γ wird eine Schätzfunktion g aus einer Stichprobe vom Umfang geschätzt. Es wird davon ausgegangen dass die in etwa die Grundgesamtheit wiederspiegelt und dass die Schätzung in der Nähe des wahren liegen müsste. Die Schätzfunktion ist eine Zufallsvariable einer Verteilung die den Parameter Γ enthält.

Man kann zunächst mit Hilfe der ein Intervall angeben in das die Zufallsvariable mit einer Wahrscheinlichkeit 1-α fällt. 1-α wird genannt.

Das Verfahren wird anhand eines mit Erwartungswert μ und der Varianz σ 2 normalverteilten Merkmals demonstriert: Es soll der μ dieser Normalverteilung geschätzt werden. Verwendet wird Schätzfunktion

<math>\hat \mu =\bar X =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i
</math>

wobei die Zufallsvariable X i (i=1 ... n) für die i-te sorgt. Es ist

<math>\bar X \sim N(\mu;\frac{\sigma^2}{n})
</math>

Die Grenzen des Intervalls

<math>[\bar x_u; \bar x_o]
</math>

in dem <math>\bar X </math> mit Wahrscheinlichkeit 1-α liegt bestimmen sich aus der

<math>P(\bar x_u \le \bar X \le \bar ) .</math>

Man standardisiert und erhält für die Zufallsvariable

<math>Z = \frac {\bar X-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}
</math>

die Wahrscheinlichkeit

<math>P(z(\frac {\alpha}{2}) \le \frac{\bar X-\mu}{\frac {\sigma}{\sqrt{n}}} \le
</math>

wobei z(α/2) das (α/2)-Quantil der Standardnormalverteilung Löst man nach μ auf resultiert aus Zufallsintervall

<math>P(\bar X-z(\frac{1-\alpha}{2}) \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le X+z(1-\frac{\alpha}{2}) \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) .
</math>

das (1-α)-Konfidenzintervall für μ

<math>[\bar x-z(\frac{1-\alpha}{2}) \cdot \frac {\sigma}{\sqrt{n}};\bar x+z(1-\frac {\alpha}{2}) \frac {\sigma}{\sqrt{n}}] .
</math>

Es liegt also der wahre Parameter mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-α in dem <math>\bar x </math> bestimmten Intervall. Ist die aber extrem ausgefallen liegt der wahre Parameter in dem Intervall. Dies ist in α·100% Stichproben der Fall.

Von besonderem Interesse ist die Breite Konfidenzintervalls. Diese bestimmt sich durch die Standardabweichung der Schätzfunktion. Durch Erhöhung des Stichprobenumfangs die Breite verringert werden. Erwünscht ist in Regel ein schmales Konfidenzintervall.



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