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Kontinuumshypothese


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Die Kontinuumshypothese wurde 1878 von Mathematiker Georg Cantor aufgestellt. Nach ihr gibt es keine Teilmenge der reellen Zahlen die in ihrer Mächtigkeit kleiner als reellen Zahlen (die auch das 'Kontinuum' genannt daher der Name der Hypothese) ist. In berühmten Liste von 23 mathematischen Problemen die David Hilbert am Internationalen Mathematischen Kongress 1900 vortrug die Kontinuumshypothese an erster Stelle.

Kurt Gödel bewies 1940 dass die Kontinuumshypothese zur Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) relativ widerspruchsfrei ist d.h.: Wenn widerspruchsfrei ist (was allgemein angenommen wird aber den Gödelschen Unvollständigkeitssatz nicht mit Hilfe von bewiesen werden kann) dann ist auch "ZFC CH" widerspruchsfrei.

In den 1960er Jahren zeigte Paul Cohen dass die keine Folgerung aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist d.h. auch die Negation der Kontinuumshypothese zur ZFC widerspruchsfrei ist. Hierfür erhielt er die Fields-Medaille .

Daher ist die Kontinuumshypothese im Rahmen Mengenlehre nicht entscheidbar und sie (oder ihre kann als neues Axiom verwendet werden. Sie ferner das erst relevante Beispiel für Gödel's Unvollständigkeitssatz . Alternativ werden viele Aussagen unter der gemacht dass die Kontinuumshypothese wahr sei.




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