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Konvexe Funktion


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Analysis: Konvexe Funktion

In der Analysis heißt eine Funktion f von einem Intervall I (oder einer konvexen Teilmenge eines Vektorraums ) nach R konvex wenn für alle x y aus I gilt:

<math>f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}</math>

Anschaulich bedeutet die Definition: Der Funktionswert der Mitte zwischen zwei Werten x y liegt unterhalb der Mitte der Verbindungsgerade beiden Funktionswerte an x und y .

Äquivalent dazu ist die Bedingung dass alle x y aus I und t zwischen 0 und 1 gilt:

<math> f(t x+(1-t)y) \le t f(x)+(1-t)f(y)</math>

Eine Funktion heißt streng konvex wenn für alle x y aus I gilt:

<math>f\left(\frac{x+y}{2}\right) < \frac{f(x)+f(y)}{2}</math>

Eigenschaften

Der Graph einer konvexen Funktion ist so gewölbt die Menge der Punkte oberhalb des Graphen konvexe Menge ist. Zu beachten ist dass nicht-konvexe Funktion nicht automatisch konkav sein muss konvex und konkav sind hier nicht das Gegenteil voneinander. Jede lineare Funktion ist sowohl konkav als auch konvex die Sinusfunktion ist keins von beiden (weder die der Punkte oberhalb des Graphen noch die Punkte unterhalb des Graphen ist eine konvexe

Jedoch ist eine Funktion f konvex genau dann wenn die Funktion f konkav ist. Ist f differenzierbar dann ist f konvex genau dann wenn ihre Ableitung wachsend ist und streng konvex genau dann <math>f'</math> streng monoton wachsend ist. Ist f zweimal differenzierbar dann ist f konvex genau dann wenn <math>f </math> nichtnegativ ist und streng konvex genau wenn <math>f </math> positiv ist.

Beispiele

  • Die Funktion f ( x ) = x 2 ist auf ganz R streng konvex denn f '( x ) = 2 x ist steng monoton wachsend.
  • Die Exponentialfunktion ist streng konvex auf ganz R .
  • Die Betragsfunktion f ( x ) = | x | ist auf ganz R konvex aber nicht streng konvex.
  • Die Funktion f ( x ) = x 3 ist konkav für x ≤ 0 und konvex für x ≥ 0.
  • Die Funktion f ( x ) = 1/ x ist streng konvex auf dem Intervall ∞) der positiven reellen Zahlen und streng auf dem Intervall (-∞ 0) der negativen Zahlen.




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