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Koordinatensystem


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Mithilfe eines Koordinatensystems lassen sich die Positionen von Punkten im Raum angeben. Die Position im Raum wird gewählten Koordinatensystem durch Angabe von Zahlenwerten Koordinaten genannt eindeutig bestimmt. Mittels einzelner Punkte sich dann durch mehrere Punkte bestimmte Objekte Abstände Flächen Körper ) angeben.

Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen entspricht der Dimension des Raumes (oft als n abgekürzt). Man fasst die Koordinaten eines n -dimensionalen Raumes dann auch als ein n - Tupel von Koordinaten auf.

Inhaltsverzeichnis

Unterschiedliche Koordinatensysteme

Die Positionen des selben Punktes im kann in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden. In unterschiedlichen Darstellungen wird diese durch unterschiedliche Koordinaten Bei Systemen die eine Symmetrie aufweisen kann durch Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem erreichen einzelne Koordinaten konstant bleiben. Z.B. genügt zur einer Postion auf der Erdoberfläche wenn es die Höhe über NN nicht ankommt die Angabe von lediglich Koordinaten ( Längengrad und Breitengrad ) da der Erdradius konstant ist. In Fällen bieten sich die Verwendung sphärischer Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) an. Die Beschreibung von Punkten einer Ebene im Raum erfolgt hingegen sinnvollerweise kartesischen Koordinaten wobei eine der <math>n</math> Koordinaten den Abstand der Ebene vom Kordinatenursprung bezeichent.

Transformationen zwischen Koordinatensystemen

Die Transformation zwischen unterschiedlichen Koordinatensystemen erfolgt Koordinatentransformation . Die unterschiedlichen Zahlenwerte der n - Tupel beschreiben die selbe Position im Raum. Übergang von geradlinigen (affinen) Koordinaten zu krummlinigen Koordinaten ist zur Berechnung Größen wie Volumen die Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante) anzuwenden.

Koordinatenursprung

Der Koordinatenursprung bezeichnet den Punkt in Koordinatensystem oder einer Karte an welchem alle den Wert Null annehmen. Er wird deshalb häufig auch Nullpunkt bezeichnet.

Spezielle Koordinatensysteme

Der uns umgebende und in Mathematik und Physik benutzte Raum ist der dreidimensionale euklidische Raum . Oft kann eine Raumdimension vernachlässigt werde dass nur ein zweidimensionaler Raum zu betrachten ist. Unter Einbeziehung Zeit entsteht der vierdimensionale Minkowskiraum der Relativitätstheorie .

Diese Räume lassen sich durch Kartesische Koordinaten beschreiben das sind affine (geradlinige) Koordinaten in der die Koordinaten entlang senkrecht aufeinander stehender Achsen gemessen werden.

Bei der Beschreibung in Polarkoordinaten werden der Abstand von einem festgelegten und Winkel zu gegebenen Achsen als Koordinaten Auch hier stehen sie Koordinatenachsen senkrecht aufeinander sie sind krummlinig.

Andere Koordinatensysteme werden in Bezug auf Objekte ( Zylinder Kegelschnitt ) definiert: Zylinderkoordinaten Hyperbolische Koordinaten.

Einige nur in Fachgebieten (z. B. Geodäsie Geographie Fernerkundung Astronomie) gebräuchliche Koordinatensysteme sind:

Mathematische Betrachtungen

In einem (endlichdimensionalen) Vektorraum ist durch eine Basis automatisch ein Koordinatensystem gegeben. Die Koeffizienten Basisvektoren lassen sich als Koordinaten verstehen. Der zwischen zwei Basissystemen entspricht eine Transformation zwischen entsprechenden Koordinatensystemen.

Da eine Transformation von einer Basis einer anderen eine lineare Abbildung ist die etwa durch eine Matrix werden kann sind auch die entsprechenden Transformationen Koordinatensysteme linear.

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