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Kreis (Geometrie)


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M Mittelpunkt r Radius d Durchmesser

Inhaltsverzeichnis

In der Geometrie

ist ein Kreis definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene E die einen konstanten Abstand r von einem Punkt M haben:

<math>k = \{X\in E\mid{}\overline{MX} = r\}</math>

Der Abstand r wird als Radius bezeichnet der Punkt M als Mittelpunkt . Der doppelte Radius heißt Durchmesser d .

In der Mathematik ist ein Kreis nach obiger Definition Linie und keine Fläche . Ist die gesamte Fläche und nicht die Begrenzungslinie gemeint muss man von einer Kreisscheibe (oder Kreisfläche) sprechen.

Zur Konstruktion eines Kreises verwendet man einen Zirkel

In der analytischen Geometrie

kann ein Kreis mit dem Mittelpunkt M(x m |y m ) und dem Radius r (in der Ebene) mit folgender Gleichung direkt aus der Definition folgt dargestellt werden:

<math>(x-x_m)^2 + (y-y_m)^2 = r^2</math>

Als Kegelschnitt ist der Kreis ein Spezialfall der Ellipse .

Will man den Umfang u eines Kreises berechnen benötigt man die transzendente Zahl pi (π ≈ 3 14159) welche ihrerseits Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises ist. Da alle Kreise ähnlich sind ist dieses Verhältnis konstant.

<math>u = 2\pi r</math>

Die Fläche A einer Kreisscheibe lässt sich mit folgender berechnen:

<math>A = \pi r^2 </math>

Die Flächenformel kann man zum Beispiel Integrieren der Kreisgleichung oder durch Einteilung des in unendlich viele Dreiecke beweisen. ( Siehe hierzu Kreisfläche ).

Besondere Geraden am Kreis

Eine Gerade die einen Kreis (zwei Mal) schneidet wird Sekante genannt. Eine berührende Gerade heißt Tangente . Sie steht senkrecht ( orthogonal ) auf einen Radius des Kreises. Eine die keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis heißt Passante . Der Abschnitt der Sekante der innerhalb Kreises liegt heißt Sehne . Die längste Sehne die auch durch Mittelpunkt geht ist der Durchmesser . Ein Segment des Kreises das durch Radien begrenzt wird heißt Kreisbogen .

Das Winkelmaß Bogenmaß (Arcus) ist als Verhältnis zwischen der des Kreisbogens den zwei Radien die im Winkel aufeinander stehen einschließen und dem Radius Die trigonometrischen Winkelfunktionen können im Einheitskreis (ein Kreis mit Radius 1) definiert

Wendet man die Definition des Kreises Raum an erhält man eine Kugel .

Geometrische Sätze rund um dem Kreis

  • Thaleskreis Peripheriewinkelsatz
  • Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises Sekantensatz)

Sätze aus anderen Gebieten der Mathematik leer )

Siehe auch




Bücher zum Thema Kreis (Geometrie)

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