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Kreiszahl


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Die Kreiszahl π durch den kleinen griechischen Buchstaben pi abgekürzt (nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen perifereia für "Randbereich") auch Archimedes' Konstante oder Zahl (nach Ludolph van Ceulen ) genannt ist als das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser oder alternativ als die Fläche eines Kreises mit dem Radius 1 definiert. Eine weitere Definition lieferte Edmund Landau indem er π als das Doppelte kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus festlegte.

Da π basierend auf dem Durchmesser Kreises festgelegt wurde findet sich in vielen Formeln der Ausdruck π/2 da diese meist Radius eines Kreises enthalten.

Inhaltsverzeichnis

Näherung

Ihr Zahlenwert beträgt näherungsweise π = 141 592 653 589 793 238 462 383 279 502 884 197 169 399 105 820 974 944 592 307 816 286 208 998 628 034 825 342 067 982 148 086 513 282 306 093 844 609 550 582 231 725 408 128 481 117 450 284 102 938 521 105 559 644 622 948 493 038 196 442 881 097 566 344 612 847 564 823 378 678 527 120 190 914...

Formeln die π enthalten:

  • Umfang eines Kreises mit Radius r: U 2 π r
  • Fläche eines Kreises mit Radius r: A π r 2
  • Volumen einer Kugel mit Radius r: V = (4/3) r 3
  • Oberfläche einer Kugel mit Radius r: O 4 π r 2

Formeln der Analysis die π enthalten:

  • 1/1 2 + 1/2 2 + 1/3 2 + 1/4 2 + ... = π 2 / 6 ( Euler )
  • <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx= \sqrt\pi</math>
  • n ! ≈ (2 π n) 1/2  ( n /e) n ( Stirlingsche Formel für große n )
  • e π i  + 1 = 0 ( Eulersche Identität )

Formeln der Physik die π enthalten

  • Δ x Δ p h / (4π) ( Heisenbergsche Unschärferelation )
  • ω = 2 π f (Kreisbewegung: gleich 2 π mal Umlauffrequenz)

Irrationalität & Transzendenz

Die Zahl π ist keine rationale Zahl . Das heißt sie kann nicht als zweier ganzer Zahlen geschrieben werden. Dies wurde 1761 (oder 1767 ) von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl transzendent . Dies bedeutet dass es kein Polynom mit ganzzahligen (oder rationalen) Koeffizienten gibt deren Wurzel π ist. Als Konsequenz ergibt sich daraus es unmöglich ist π nur mit ganzen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Dies wurde Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Eine Folge ist auch dass Quadratur des Kreises nur mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Rekordjagd & Näherungen

Da es somit keine einfache Formel π gibt müssen wir für diese Zahl benutzen. Diese Näherungswerte und -verfahren waren lange insbesondere für die angewandten Wissenschaften (Ingenieurbau etc.) sehr wertvoll; die neueren hingegen haben bereits so viele Stellen dass nicht mehr von praktischen Nutzen sprechen kann.

Die Bibel besagt im ersten Buch Könige Kapitel 7 Vers 23: "Hierauf fertigte ein kreisrundes Becken an das von einem bis zum anderen 10 Ellen maß... eine von 30 Ellen umspannte es. Somit wird der Bibel der Wert für π mit

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angegeben. Diesen Wert nutzte man auch alten Babylon . Eine einfache Messung durch ein Maßband dass π in Wirklichkeit etwas größer ist.

Jedoch war schon im alten Ägypten um 1900 v. Chr. im "Papyrus der Wert

(16/9) 2 = 3 1604...

nachzulesen.

In Indien benutzte man in den Sulbasutras Schnurregeln Konstruktion von Altären den Wert

(26/15) 2 = 3 0044...

für π.

Häufig versuchte man mit Hilfe von den Kreis anzunähern und so Näherungen für zu gewinnen. Archimedes hat mit umbeschriebenen und Vielecken bis hin zum 96-Eck obere und Schranken für den Kreisumfang berechnet und erhielt für π die Abschätzung

<math>3 1408545... = 3+\frac{10}{71}<\pi<3+\frac{10}{70} = 3 1428571...</math>

In dem astronomischen Werk des Ptolemäus Almagest (ca. 100 n.Chr.) finden sich Tabellen Winkelfunktionen für welche bereits genauere Werte der π bekannt sein müssen.

Leonhard Euler führt in seiner im Jahre 1748 erschienenen "Introductio in Analysin Infinitorum" im Bande π auf 148 Stellen genau an.

Im gleichen Buch gibt Euler auch Methode für die Berechnung von Logarithmen an. Diese stimmt grundsätzlich mit dem zur Berechnung des Kreisumfanges / π überein jene gleichfalls das Quadratwurzelverfahren zur fortlaufenden Verbesserung Resultates benützt.

Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung 22/7 = 3 142857... berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler π beträgt etwa 0 04%. Für alltägliche Situationen war das völlig ausreichend.

Eine andere Näherung ist der Bruch =3 1415929... immerhin auf sieben Stellen genau.

Ludolph van Ceulen hat 1596 die ersten 35 Dezimalstellen Er war so stolz darauf dass er Ergebnis auf seinem Grabstein verewigen ließ.

Wallissches Produkt ( 1665 ) - benannt nach dem englischen Mathematiker John Wallis :

2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 6/5 * 6/7 * 8/7 * 8/9 ... = π/2

Leibniz ' Formel ( 1671 ):

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 1/9 - ... = π/4

Formel von Srinivasa Ramanujan ( 1914 ):

<math>\frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)! \cdot (1103+26390n)}{(n!)^{4} \cdot = \frac{1}{\pi}</math>

Keine der oben angegebenen Formeln kann effizienten Berechnung von Näherungswerten von π dienen. schnelle Berechnungen kann man Formeln wie etwa von Machin ( 1706 ) verwenden:

4 arctan(1/5) - arctan(1/239) = π/4

zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens -Funktion. Diese Formel wird sofort klar wenn sie in Polarkoordinaten der komplexen Zahlen angibt beginnend mit

(5+ i ) 4 · (-239 + i ) = -114244-114244 i .

1996 hat David H. Bailey zusammen mit Borwein und Simon Plouffe eine neue Formel π entdeckt:

<math>\pi = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{16^k}\left(\frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - - \frac{1}{8k+6}\right)</math>

Diese Formel erlaubt es auf einfache die n -te Stelle einer binären oder hexadezimalen Darstellung π zu berechnen ohne dass man zuvor n -1 vorherigen Ziffernstellen berechnen muss. http://www.nersc.gov/~dhbailey/ ist Baileys Webseite und enthält eine des Verfahrens und auch Implementationen in verschiedenen Programmiersprachen .

Berechnung

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus in der Flächenformel des Kreises π enthalten und in Bezug zum Quadrat gesetzt werden

Die Formel für den Flächeninhalt des : π · r²

Die Formel für den Flächeninhalt des : (2r)²

<math>\frac{\mathrm{Kreistreffer}}{\mathrm{Quadrattreffer}} = \frac{\pi \cdot r^2}{(2 r)^2} \frac{\pi}{4} </math>

<math>\pi = 4 \cdot \frac{\mathrm{Kreistreffer}}{\mathrm{Quadrattreffer}}</math>

Programm

 r = 1000 kreistreffer = 0 = (2*r)^2 for y = -r to for x = -r to r if <= r then kreistreffer = kreistreffer + ausgabe (4*kreistreffer/quadrattreffer) { 3.141549 }  

Die Genauigkeit kann mittels r kontrolliert Mit r = 10 bekommt man 3.17 mit r = 100 die Zahl 3.1417

statistische Bestimmung

Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung π ist die statistische Methode . Das obige Bild diene der Verdeutlichung. das Quadrat mit der Seitenlänge 2r lässt Versuchsobjekte fallen und wertet aus an welcher die Objekte liegen bleiben. Durch die Anzahl Objekte die im Inneren des gelben Kreises kann man das Verhältnis von Kreisfläche zu berechnen und erhält somit auch einen Wert π

Merkregeln

Immer wieder haben lange Zahlenfolgen zu Merksätzen geführt bei denen die Anzahl der jeden Wortes jeweils eine Stelle der Zahl

Der im Deutschen sicherlich bekannteste Merksatz folgender:

Wie o dies π
Macht ernstlich so vielen viele Müh
Lernt immerhin Jünglinge leichte Verselein
Wie so zum Beispiel dies dürfte zu sein!

Kürzer ist:

Gib O Gott O Vater Fähigkeit zu

Oder:

Ist's doch o Isaak schwierig zu wissen sie steht!

Viele Stellen hinter dem Komma verbirgt englische Eloge:

Now I even I would celebrate
In rhymes unapt the great
Immortal Syracusan rivaled nevermore
Who in his wondrous lore
Passed on before
Left men his guidance
How to circles mensurate.

Der folgende französische Merkspruch ehrt ebenfalls Archimedes lässt dann allerdings an Klarheit zu

Que j'aime à faire connaître un nombre aux sages !
Immortel Archimède artiste ingénieur
Qui de ton jugement peut priser la ?
Pour moi ton problème eut de pareils

Dann lieber gleich plancker Nonsens?

How I want a drink
alcoholic of course
after the heavy lectures involving quantum mechanics.
All of thy geometry
Herr Planck
is fairly hard.

Offene Fragen

Die drängendste Frage bezüglich π ist sie eine normale Zahl ist ob sie zum Beispiel in binären (oder jeder anderen n-adischen ) Zahlendarstellung jede mögliche Binär- bzw. sonstige gleichermaßen enthält so wie dies die Statistik ließe wenn man eine Zahl vollkommen nach Zufall erzeugen würde.

Bailey und Crandal haben 2000 gezeigt dass die Existenz der oben Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt dass die von π zur Basis 2 (wie auch von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende der Chaostheorie reduziert werden kann. Für weitere Details siehe die Webseite von Bailey.

Anwendungen

Pi spielt in verschiedenen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle - nicht nur der Geometrie.

Siehe Algebra Analysis Geometrie Trigonometrische Funktion Zahlentheorie

Kurioses

Im Jahre 1897 gab es im US - Bundesstaat Indiana einen Gesetzentwurf mit dem die Zahl pi per Gesetz nicht nur als 3 2 sondern nebenbei auch als 4 3 25 und 22/7 definiert werden Das Gesetz passierte jedoch (nur wegen eines nie die zweite Kammer des Parlaments .

Die ersten eine Million Ziffern von und ihres Kehrwerts  1/π sind als Datei beim Projekt Gutenberg erhältlich.

Der derzeitige Rekord der Berechnung von wird durch Yasumasa Kanada auf einem HITACHI mit 1 241 Billionen Stellen gehalten.

Der aktuelle Rekord im Auswendiglernen von pi-Nachkommastellen liegt bei 42.195 aufgestellt 18. Februar 1995 vom Japaner Hiroyuki Goto. Den deutschen hat Ulrich Voigt am 2. Juni 2003 auf 5000 erhöht.

Aus Sternstunden der modernen Mathematik von Keith Devlin:

  • Ein weiteres Beispiel in dem Pi überraschend Rolle spielt ist das folgende: Wenn man Streichholz auf ein Brett wirft das durch jeweils eine Streichholzlänge voneinander entfernte Linien unterteilt dann beträgt die Wahrscheinlichkeit dass das Streichholz fällt dass es eine Linie schneidet genau

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