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Lösen von Gleichungen


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Dies ist eine Übersicht über das Lösen von Gleichungen . Das Lösen von Gleichungssystemen wird in anderen Artikel behandelt ebenso das Lösen von .

Inhaltsverzeichnis

Grundregeln

Gleichungen werden durch Äquivalenzumformungen gelöst. D.h. es sind eine Reihe Aktionen erlaubt vorausgesetzt sie werden auf beiden des Gleichheitszeichens gleich ausgeführt:

  • Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
    (" + 2 " oder " + 7· x " oder " + 2·( x ²- y ²) " ...).

  • Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
    (" - 2 " oder " - 7· x " oder " - ( x + y )·( x - y ) " ...).

  • Multiplikation mit demselben Ausdruck (ungleich 0) auf Seiten
    (" ·2 " oder " ·7 x " oder " ·( x ²+2 x +1) " ...).

  • Division durch denselben Ausdruck (ungleich 0) auf Seiten
    (" ÷2 " oder " ÷7 x " oder " ÷2 ab " ...).
  • Vertauschen beider Seiten.

Eingeschränkt möglich sind darüber hinaus:

  • Potenzieren beider Seiten mit dem selben positiven ganzzahligen Exponenten (z. B. Quadrieren ).
    Dies ist nur dann eine Äquivalenzumformung wenn Exponent ungerade ist. Bei anderen Exponenten - beim Quadrieren - erhält man so genannte Scheinlösungen die durch eine Probe ausgeschlossen werden müssen.
    Zum Beispiel ist die Gleichung x = -1 nicht äquivalent zur Gleichung x ² = (-1)² denn die letztere Gleichung auch x = 1 als Lösung.
  • Potenzieren beider Seiten mit dem selben nicht-ganzzahligen z.B. Bilden der Quadratwurzel beider Seiten.
    Dies gibt nur dann reelle Lösungen wenn die Seiten der Gleichung sind. Auch dies ist für gerade Wurzelexponenten Äquivalenzumformung denn es gehen Lösungen verloren wenn nicht sowohl positive als auch negative Wurzeln zwei getrennten Gleichungen berücksichtigt.
    Zum Beispiel ist die Gleichung x ² = a mit einem Ausdruck a äquivalent zum System ( x = √ a oder x = -√ a ).
  • Potenzieren beider Seiten mit dem selben negativen z.B. Bilden des Kehrwerts beider Seiten.
    Dies geht nur wenn die Seiten der nicht den Wert Null haben. Bei Verwendung anderer Exponenten als treten dieselben Hindernisse wie bei positiven Exponenten

Polynomgleichungen

Gleichungen vom Grad 1

Lineare Gleichungen werden gemäß obigen Grundregeln lange behandelt bis auf der linken Seite Unbekannte steht und rechts eine Zahl bzw. entsprechender Ausdruck. Lineare Gleichungen der Normalform

ax + b =0 mit a ≠0
haben stets genau eine Lösung. Sie - b / a .

Eine Gleichung kann aber auch unlösbar So gibt es keine Zahl die die x = x + 1 löst weil es keine gibt die gleich groß wie ihr Nachfolger Formal entstünde durch beidseitige Subtraktion von x die falsche Aussage 0 = 1.

Verhältnisgleichungen wie etwa 1÷ x = 2÷5 lassen sich durch Kehrwertbildung eine lineare Gleichung überführen.

Gleichungen vom Grad 2

Das Lösen von Quadratischen Gleichungen ist ausführlich unter Quadratische Ergänzung beschrieben und geht in der Normalform mit der pq-Formel .

Quadratische Gleichungen in der Normalform

ax² + bx + c =0 mit a ≠0
haben stets zwei Lösungen die aber immer reell sind. Daher lernen Schüler dass auch Quadratische Gleichungen "ohne Lösung" geben kann.

Auch hier gibt es Gleichungen die ein x ² enthalten dieser Term aber beim Umformen so dass u.U. eine falsche Aussage stehen Solche Gleichungen sind unlösbar.

Gleichungen vom Grad 3

Auch für das Lösen von kubischen Gleichungen gibt es eine formale Lösung die der Fachliteratur (z.B. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik ) nachzulesen ist. Sie kommt allerdings nicht ohne Komplexe Zahlen aus.

Kubische Gleichungen in der Normalform

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 mit a ≠0
haben stets drei Lösungen die aber immer reell sind.

(Die Lösungsformel sollte im Artikel kubische Gleichung gegeben werden siehe Weblink.)

Weblink: Lösungsformel für kubische Gleichungen

Gleichungen höheren Grades

Auch für biquadratische Gleichungen lässt sich noch eine Lösungsformel angeben. der Kompliziertheit der Formel empfiehlt sich im jedoch eine numerische Lösung.

Eine allgemeine Lösungsformel für Gleichungen höheren gibt es nicht (ein Resultat der Galoistheorie ).

Gleichungen höheren Grades werden in der nur numerisch gelöst es sei denn eine lässt sich erraten. Hat man eine Lösung lässt sich der Grad der Gleichung durch Polynomdivision um 1 verringern.

Gleichungen vom Grad n haben n Lösungen ( Fundamentalsatz der Algebra ). Sie sind in der Regel nicht reell.

Wurzelgleichungen

Tritt die Variable x unter einer Wurzel auf spricht man einer Wurzelgleichung . Solche Gleichungen löst man indem man Wurzel isoliert (allein auf eine Seite bringt) dann mit dem Wurzelexponenten potenziert. Das wiederholt bis alle Wurzeln eliminiert sind. Die entstehende löst man wie oben. Schließlich muss man beachten dass durch das Potenzieren Scheinlösungen hinzugekommen die nicht Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind. ist hier eine Probe unverzichtbar.

Numerisches Lösen

Ein einfaches numerisches Verfahren zur Lösung Gleichungen ist die Intervallschachtelung . Ein Spezialfall davon ist die Regula

Bedingt einsetzbar dafür schneller ist das Newtonsche Näherungsverfahren .

Graphische Verfahren

Graphische Verfahren können im Rahmen der Anhaltspunkte über Anzahl und Lage der Lösungen

Liegt die Gleichung in ihrer Normalform vor lässt sich die linke Seite Funktion auffassen deren Graph nach einer Wertetafel hinreichender Genauigkeit zu zeichnen ist. Die Nullstellen h. Schnittpunkte mit der x-Achse ) sind dann die Lösungen.
Andernfalls sind die Funktionen die der und der linken Seite der Gleichung entsprechen in ein Achsenkreuz zu zeichnen. Die x-Werte Schnittpunkte geben die Lösung an. Quadratische Gleichungen so umgeformt dass der quadratische Term nur vom Gleichheitszeichen und mit dem Vorfaktor 1 stehen kommt. Dann kann man mittels Schablone die Einheitsparabel zeichnen und mit der der rechten Seite hervorgehenden Geraden zum Schnitt bringen. Dies ist rechts für die Gleichung x² = 0 5x + 0 5 gezeigt deren Lösungen -0 5 und +1 sind.


Siehe auch: Gleichung - Lösen von Ungleichungen



Bücher zum Thema Lösen von Gleichungen

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