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Lagrange-Formalismus


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Der Lagrange-Formalismus ist eine 1788 von Joseph Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik . Die Trajektorie eines Objektes wird im Lagrange-Formalismus bestimmt der Pfad mit einer stationären Wirkung berechnet wird (Hamiltonsches Prinzip) d. h. Pfad für den das Integral der Lagrangefunktion L über die Zeit stationär ist.

Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme im Gegensatz zur Newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze lassen sich im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch Wahl geeigneter Koordinaten q i ( generalisierte Koordinaten ) berücksichtigen.

Lagrangesche Bewegungsgleichungen

Mit Hilfe der Variationsrechnung folgen aus dem Hamiltonschen Prinzip die Bewegungsgleichungen des Lagrange-Formalismus die (Euler-)Lagrange-Gleichungen :

<math>
{\partial{L}\over \partial q_i} = {d\over dt}{\partial{L}\over </math>

Für jede generalisierte Koordinate q i (und die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit <math>\dot{q}_i</math>) es eine solche Gleichung. Die Lagrange-Gleichungen bilden System partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Die Lagrange-Funktion L ergibt sich dabei zu L=T-V wobei T die kinetische Energie und V die potenzielle Energie aller Massenpunkte des ist.

Richard Feynman (zusammen mit Albert Hibbs) hat im zu vielen anderen Physikern diese Herangehensweise auch die Herleitung der Gleichungen der Quantenmechanik verwendet. In der klassischen Physik ergeben die oben beschriebenen Lagrange-Gleichungen aus der Forderung das Wirkungsintegral (bei dem über die Lagrange integriert wird) stationär wird (durch die Variation Integrals erhält man die Differenzialgleichungen). Feynman hat mathematischen Formalismus entwickelt in dem der Betrag Wirkungsintegrals als Maß für die Wahrscheinlichkeit eingeht ein System einen bestimmten zeitlichen Verlauf erfährt Pfadintegral ). Hieraus ergibt sich dann (in einer anspruchsvollen Herleitung) z. B. die Schrödingergleichung . In dieser Theorie bilden klassische Systeme Grenzfall bei dem außer der Systemtrajektorie die aus der Lagrange-Gleichung ergibt alle anderen Trajektorien verschwindend geringe Wahrscheinlichkeit haben.

Beispiel

Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator gilt und <math>V=Dx^2/2</math>. Mit x als generalisierter Koordinate folgt die Bewegungsgleichung aus der Euler-Lagrange-Gleichung:

<math>L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{D}{2}x^2</math>
<math>\Rightarrow\ \ \ -D x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m\dot{x}\right)</math>
<math>\Rightarrow\ \ \ \ddot{x} = -\frac{D}{m} x</math>

Eine Lösung dieser Gleichung ist <math>x(t)=c\cdot\cos(\omega mit <math>\omega=\sqrt{D/m}</math> und <math>c=const.</math>.

Siehe auch: Hamilton-Formalismus



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