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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDienstag, 12. November 2019 

Laplace-Transformation


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Die Laplace-Transformation ist eine Integral-Transformation die eine gegebene f(t) vom Originalraum nach der Vorschrift:
<math>
\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) \ dt \qquad (\textrm{mit:\quad} s = \sigma j \omega;\quad t \ge 0 ) </math>

in eine Funktion F(s) im Frequenzraum

Laplace-Rücktransformation

Die Laplace-Rücktransformation ist gegeben durch
<math>
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t) = \frac{1}{2 \pi \int^{c+j\infty}_{c-j\infty} F(s) e^{st} \ ds \qquad (\textrm{mit\quad} \in \mathbb{R} c>\max_i\Re(Res_i)) </math>

Da hier über eine komplexe Variable wird muss die Rücktransformation mit den Methoden Funktionentheorie gelöst werden. In der Praxis verwendet häufig Korrespondenztabellen mit denen diese Aufgabe leichter werden kann.

Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen

Die Laplace-Transformation eignet sich aufgrund ihres u.a. dazu Differentialgleichungen zu lösen. Dazu transformiert man die in den Frequenzraum löst die so erhaltene Gleichung und transformiert die Lösung in den zurück.

Korrespondenztabelle

Originalfunktion f(t) Bildfunktion F(s)
<math>\delta(t)</math> 1
<math>1</math> <math>\frac{1}{s}</math>
<math>t</math> <math>\frac{1}{s^2}</math>
<math>e^{-at}</math> <math>\frac{1}{s+a}</math>
<math>\sin(\omega t)</math> <math>\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}</math>
<math>\cos(\omega t)</math> <math>\frac{s}{s^2 + \omega^2}</math>

Wichtige Eigenschaften der Laplace Transformation

Linearitätssatz

Die Laplace-Transformation erfüllt das Liniaritätsprinzip:

<math> \mathcal{L}\{f1(t)\} + \mathcal{L}\{f2(t)\} = \mathcal{L}\{f1(t)\ f2(t)\} </math>

Siehe auch: Fourier-Transformation Faltung



Bücher zum Thema Laplace-Transformation

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