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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenFreitag, 15. November 2019 

Lebesgue-Maß


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Zunächst wird zu erklären sein was dem Begriffe "Maß" zu verstehen ist.

"Maß" im mathematischen Sinne ist eine des Begriffes der Länge eines Intervalles.

Die Mengenlehre setzt Strecken Punktmengen gleich. analytische einwandfreie Fassung des Punktmengenbegriffes führt dazu Länge von (Punkt-)Mengen zu bestimmen oder wie die Mathematiker zu sagen pflegen deren Maß bestimmen.

Damit ist eine Brücke zwischen der Auffassung einer Strecke und dem mengentheoretischen Standpunkte

Es ist historisch interessant daß Ansätze dieser Betrachtungsweise bereits bei Euklid zu finden

Cavalieri erweiterte das Konzept Euklids indem davon ausging daß jede höhere Dimension im aus unendlich vielen Elementen bestehe welche der nach um einen Grad kleiner sein müssen.

Nachdem die Integration von Funktionen mit Begriff der Länge unmittelbar verknüpft ist führt Maßbegriff auf die Integration angewandt in vielen der Mathematik wie Funktionentheorie Topologie Funktionalanalysis etc. einer neuen Betrachtungsweise.

Wenn eine Funktion über einem Lebesgue-meßbaren definiert wird dann existiert auch das Lebesgue-Maß Funktion.

Jede kontinuierliche Funktion (= Funktion welche jeder Stelle ableitbar ist bzw. eine Tangente üblichen Sinne besitzt d.h. eine differenzierbare Funktion) Lebesgue-meßbar.

Das gilt nun aber auch für Klasse von Funktionen welche in einem endlichen (abzählbar) unendlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt.

Solche Funktionen sind zwar nicht integrierbar das Riemann-Integral aber im Sinne des Lebesgue-Integrales.



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