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Levi-Civita-Symbol


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Das Levi-Civita-Symbol <math>\epsilon_{ijk...}</math> oft auch (ein wenig nachlässig) Epsilon-Tensor genannt ist ein Symbol das sich Mathematik Physik und verwandten Disziplinen für viele Rechnungen praktisch erweist. Es ist benannt nach dem Mathematiker Tullio Levi-Cività (1873-1941).

Definition

Das Levi-Civita-Symbol in n Dimensionen hat n Indizes die gewöhnlich von 1 bis n (für manche Anwendungen auch von 0 n -1) laufen. Es wird durch folgende Eigenschaften
  • <math>\epsilon_{12\dots n} = 1</math>
  • Unter Vertauschung zweier Indizes ändert es Vorzeichen: <math>\epsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\epsilon_{ij\dots v\dots

Gleichwertig ist die Definition

<math>
 \epsilon_{ijk\dots} = \left\{\begin{matrix} +1 & \mbox{falls j k \dots) \mbox{ eine gerade Permutation } (1 2 3 \dots) \mbox{ ist} -1 & \mbox{falls }(i j k \dots) eine ungerade Permutation von } (1 2 \dots) \mbox{ ist} \\ 0 & \mbox{wenn zwei Indizes gleich sind.} \end{matrix}\right.  
</math>

Das Symbol bezeichnet die Komponenten eines kovarianten Tensors n -ter Stufe.

Anwendungen

Das Levi-Civita-Symbol mit drei Indizes erweist in der Vektorrechnung als nützlich um die Komponenten des Kreuzproduktes zweier Vektoren zu schreiben. Es gilt

<math>
 (\vec{a} \times \vec{b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 a_j b_k  
</math>

Bei solchen Rechnungen wird häufig die Summenkonvention angewandt das heißt man lässt die weg und vereinbart dass über in Produkten auftretende Indizes stets automatisch summiert wird.

Die Determinante einer <math>n \times n</math>- Matrix <math>A = (A_{ij})</math> kann mit dem und der Summenkonvention wie folgt geschrieben werden:

<math>
 \det A = \epsilon_{i_1 i_2 \dots A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n}  
</math>

Siehe auch: Kronecker-Symbol Permutation



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