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Limes (Mathematik)


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In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert eine Größe die durch eine spezielle die Grenzwertbildung definiert ist. Diese Vorschrift kann formuliert sein; oft handelt es sich um Folge von Schritten die Approximationen des Grenzwertes darstellen. Dabei kann es dass keiner dieser Approximationsschritte den Grenzwert selber Stattdessen nähern sich die Einzelwerte immer mehr den Grenzwert an.

Die Notation für den Grenzwert einer Funktion f(x) wenn x gegen den Wert a strebt lautet

<math> \lim_{x \to a} f(x) </math>
Hier kommt die Variable x mit ihrem Wert beliebig nah an a heran muss diesen Wert aber nicht (z.B. dann nicht wenn f für a nicht definiert ist). Die Limesbildung ist für die Infinitesimalrechnung .

Inhaltsverzeichnis

Beispiel

Wenn man bei der Funktion y = f ( x ) = 1/ x den x -Wert immer größer werden lässt dann strebt y immer weiter gegen Null.

<math> \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = </math>

Die beiden folgenden Beispiele unterscheiden ob Grenzwert von oben oder von unten gebildet

<math> \lim_{x \downarrow 0} \frac{1}{x} = \qquad\mbox{alternativ}\qquad \lim_{x \searrow 0} \frac{1}{x} = \infty
<math> \lim_{x \uparrow 0} \frac{1}{x} = \qquad\mbox{alternativ}\qquad \lim_{x \nearrow 0} \frac{1}{x} = -\infty

Limes einer Folge

Erläuterung

Eine reelle Zahl a ist der Limes einer Folge ( a n ) reeller Zahlen falls der Abstand zwischen "schließlich allen" Folgegliedern und a beliebig klein wird.

Das wird folgendermaßen formalisiert: Gegeben sei reelle Zahl <math>\epsilon>0</math>. Der Abstand zwischen "schließlich Folgengliedern und a ist kleiner als <math>\epsilon</math> falls es natürliche Zahl N gibt derart dass alle jenseits des Indexes N (also a N+1 a N+2 ...) <math> |a_n-a|<\epsilon </math> erfüllen. Wenn nun für jedes beliebige (noch so kleine) <math>\epsilon > einen Index N gibt derart dass <math> |a_n-a|<\epsilon </math> alle n>N gilt dann heißt die Folge ( a n ) konvergent und zwar gegen den Grenzwert a . Kurz:

<math> \lim_{n \to \infty} a_n = \quad \Longleftrightarrow \quad \forall \epsilon>0 \ \exists \ \forall n>N \quad |a_n-a|<\epsilon </math>

Man beachte dass der Index N von <math>\epsilon</math> abhängen darf. Um also B. zu beweisen dass die Folge (1/n) 0 konvergiert wählt man zu vorgegebenem <math>\epsilon</math> N z. B. die kleinste natürliche Zahl größer als 1/<math>\epsilon</math> ist. Dann gilt nämlich alle n>N:

<math> |a_n-0| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} \epsilon </math>

Die erste Ungleichung folgt dabei aus n>N (bei Kehrwertbildung dreht sich in Ungleichungen Relationszeichen um) die zweite aus <math>N>1/\epsilon</math>.

Beispiele

  • Die konstante Folge (b n ) mit b n =1 ist konvergent gegen 1.
  • Die Folge (c n ) mit (c n )=1/n konvergiert gegen 0 und wird Nullfolge
  • Die Folge (e n ) mit e n =(1+1/n) n ist konvergent gegen die Eulersche Zahl e.
  • Die Folge (c n ) mit c n =(-1) n ist nicht konvergent besitzt jedoch zwei Teilfolgen für gerade und ungerade n.

Verallgemeinerung

Der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert als Betrag der Differenz angegeben. Sind die keine reelle Zahlen sondern z.B. Punkte in dreidimensionalen Raum so wird der Betrag der durch eine Norm der Differenz oder noch allgemeiner durch Metrik ersetzt. Der Rest der Definition überträgt reibungslos. Siehe Konvergenz .



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