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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDonnerstag, 21. November 2019 

Logarithmische Normalverteilung


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Die logarithmische Normalverteilung (kurz Log-Normalverteilung ) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Sie beschreibt die Verteilung einer Zufallsvariablen X wenn ln( X ) normalverteilt ist.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist

<math>f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\frac{1}{x} e^{-\frac{(lnx-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math>

für x > 0 wobei σ die Standardabweichung und μ der Erwartungswert der normalverteilten Zufallsvariablen ln X ist.

Die Lognormalverteilung ist rechtsschief. Ihre Verteilungsparameter der Erwartungswert

<math>EX= e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}</math>

und die Varianz

<math>\operatorname{var}X = e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)</math> .

Der Median also die Umkehrfunktion der ist

<math>x(0 5)=e^\mu</math> .

Je größer die Differenz zwischen Erwartungswert Median desto ausgeprägter ist i.a. die Schiefe Verteilung. Hier unterscheiden sich diese Parameter um Faktor <math>e^{\frac{\sigma^2}{2}}</math>. Die Wahrscheinlichkeit für extrem große ist also bei der Lognormalverteilung hoch.

Anwendungen

Die logarithmische Normalverteilung liegt dem Black-Scholes-Modell zur Preisfeststellung von Finanzoptionen zugrunde.



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