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Logistische Funktion


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Die Logistische Funktion beschreibt den Zusammenhang zwischen der verstreichenden und einem Wachstum (z.B. einer ideellen Bakterienpopulation ).

Hierzu wird das Modell des exponentiellen Wachstums modifiziert durch eine sich mit Wachstum verbrauchende Ressource - die Idee dahinter ist also ein Bakterien nährboden begrenzter Größe.

Diese Entwicklung wird durch eine Differentialgleichung der Form

<math> f'(t)=\left ( {1-f(t) \over m} ) \cdot c\cdot f(t) </math>

beschrieben. Die Lösung ergibt sich als:

<math> f(t)={ m \over 1+ \left { m \over f(0) } -1 \right \cdot e^{-c \cdot t}} </math>

Und beschreibt eine "S-förmige" Kurve die "Sigmoide" genannt wird.

Am Anfang ist das Wachstum klein die Population und somit die Zahl der vermehrenden Individuen gering ist. In der Mitte Entwicklung wächst die Population sehr stark bis durch die sich erschöpfenden Ressource gebremst wird.

Die Logistische Gleichung beschreibt einen sehr auftretenden Zusammenhang und findet weit über die der Beschreibung einer Population von Lebewesen hinaus

Die folgende Grafik zeigt die Lösung den Fall m=1 c=1 f(0)=1/2:



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