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Logizismus


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Der Logizismus (engl. logicism) bezeichnet eine Richtung in Begründung der Mathematik die von der These ausgeht daß Logik die alleinige Grundlage der Mathematik ist die sich das Ziel setzt alle Begriffe Schlußweisen der Mathematik auf Begriffe und Schlußweisen Logik zurückzuführen.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine Betrachtungen zum Verständnis des Logizismus

Die Vertreter des Logizismus sehen in und Logik keine verschiedenen Disziplinen sonder nur Stufen ein und derselben Wissenschaft. Nach ihrer kann die Mathematik vollständig aus der reinen heraus entwickelt werden ohne daß bei der dieses Prozesses zusätzliche Grundbegriffe oder Annahmen nötig

Die Vertreter des Logizismus betrachten dies eine grundsätzliche philosophische Erkenntnis da nur sie ermögliche die wahre Natur der Mathematik zu Die Herausbildung der Konzeption des Logizismus kann einem gewissen Grade dadurch erklärt werden daß der Mathematik die Logik in der Tat größere Rolle spielt als in jeder anderen und die Mathematik von jeher als Vorbild logische Strenge galt.

Hinzu kommt daß beim axiomatischen Aufbau mathematischen Theorie die Theoreme dieser Theorie auf rein logischem Wege den zugrunde gelegten Axiomen gewonnen werden.

Die Anfänge führen zu Leibniz

Die Idee einer Rückführung der Mathematik die Logik findet sich schon bei Leibniz der die Ansicht vertrat daß letztlich Wissenschaft auf allgemeinen Ideen und Prinzipien der beruht oder genauer einer vom ihm als geforderten scientia universalis; in der Mathematik sah den Spezialfall der Anwendung dieser Logik auf Berechnungen.

Die Vertreter des Logizismus zu Beginn 20. Jahrhunderts

Um die Jahrhundertwende zum 20. Jahrhundert bemühten sich hervorragende Mathematiker wie z.B. Gottlob Frege Richard Dedekind Guiseppe Peano um die grundlegender mathematischer Begriffe insbesondere des Zahlenbegriffes auf Begriffe.

Seinen Höhepunkt erreichte der Logizismus mit Erscheinen des dreibändigen Werkes "Principia Mathematica" von Bertrand Russell und Alfred North Whitehead in dem sich die Autoren das setzten ein System der symbolischen Logik auszuarbeiten dessen die gesamte Mathematik begründet werden kann; spätere Vertrerter des Logizismus sind Rudolf Carnap und der Wiener Kreis der Neopositivisten ( Positivismus und logischer Empirismus ) sowie Willard Van Orman Quine zu nennen.

Das Problem der Antinomien

Um den Antinomien der Mengenlehre zu begegnen die z.B. Frege zur seiner strengen logizistischen Position veranlaßten und bei ernste Zweifel an der Durchführbarkeit des Programms Logizismus aufkommen ließen entwickelte Russell und Whitehead Typentheorie .

Ihre wesentlichen Grundideen waren

  1. eine Stufung der Mengen und Prädikaten so daß eine Menge bzw. Prädikat eine höhere Stufe hat als ihre Elemente ihre Objekte auf die es angewendet wird; Prinzip bildete die Grundlage der einfachen und Typentheorie.
  2. das Verbot imprädikativer Definitionen (nichtprädikative Definition) das circulus vitiosus Prinzip nach dem ein Objekt niemals einer Menge sein darf die zur Definition Objektes verwendet wird durch Einführung eines zusätzlichen der Ordnung eines Objektes gegebener Stufe; dieses bildet die Grundlage der verzweigten Typentheorie.

Die Forderung 1. diente der Vermeidung logischen Antinomien vom Typ der Antinomie von und der Antinomie von Burali-Forti und die 2. sollte die epistemologischen semantischen Antinomien vom der Antinomie des Lügners (Paradoxie des Lügners Beziehung von Antinomie und Paradoxie siehe Antinomie ) verhindern für die Russell wie z.B. Poincare die imprädikativen Definitionen verantwortlich machte.

Der Aufbau der klassischen Mathematik bedient aber in mannigfacher Weise imprädikativer Definitionen; z.B. eine bestimmte reelle Zahl etwa ein Häufungspunkt einer unendlich beschränkten Menge von reellen oder der Grenzwert einer Cauchyfolge häufig durch einen Dedekindschen Schnitt in Menge aller reellen Zahlen festgelegt.

Zur Einführung des Reduzibilitätsaxioms durch Russel

Russell sah sich deshalb gezwungen ad sein umstrittenes Reduzibilitätsaxiom einzuführen das die für Aufbau der Mathematik unerwünschten Erhöhungen der Ordnung gewissem Sinne rückgängig machte.

Insbesondere dieses Axiom wurde von vielen Beispiel für ein die Logik überschreitendes Axiom Wegen der Problematik des Reduzibilitätsaxioms wurde von meisten Anhängern des Logizismus die verzweigte Typentheorie verlassen und auf die einfache Typentheorie zurückgegangen sich ergab wie Ramsey gezeigt hat daß bei strenger Handhabung Syntax der einfachenTypentheorie auch die epistemologischen Antinomien werden ohne daß man auf die für Aufbau der Mathematik gebrauchten imprädikativen Definitionen verzichten

Zum Verhältnis der Axiome unter dem der reinen Logik

Aber auch für die von Russell Whitehead angegebenen Axiome der einfachen Typentheorie ist zum Teil sehr zweifelhaft ob man sie rein logische Axiome ansehen kann was natürlich schwerwiegende Frage aufwirft was unter reiner Logik zu verstehen ist.

Das betrifft im besonderen Maße das das die Existenz einer unendlichen Menge fordert im gewissen Maße auch das Auswahlaxiom und selbst das Komprehensionsaxiom und das Die von den Vertretern des Logizismus hierfür Begründungen sind positivistischer oder pragmatischer Natur was erheblichen philosophischen Problemen führt.

Die fehlende Widerspruchsfreiheit als schwerwiegendes Kriterium

Es muß schließlich vermerkt werden daß aufgrund des Gödelschen Unvollständigkeissatzes die Typentheorie nicht ausreicht die gesamte zu begründen daß z.B. die Widerspruchsfreiheit der nicht allein mit den Mitteln der Typentheorie werden kann.

Zu den fruchtbaren Wirkungen des Logizismus

Trotz seines vom philosphischen Standpunkt zweifelhaften muß der Logizismus als eine äußerst fruchtbare in der Entwicklung der Logik und der der Mathematik eingeschätzt werden.

In erster Linie kann und muß die einfache Typentheorie als ein spezielles axiomatisches der allgemeinen Mengenlehre ansehen und aus dieser besteht das Verdienst des Logizismus darin das Begriffssystem der Mathematik auf ein System von mengentheoretischen Grundbegriffen zurückgeführt und die gesamte gegenwärtige mit Hilfe eines relativ einfachen und einheitlichem von Axiomen und Schlußregeln begründet zu haben.

Darüber hinaus trug der Logizismus wesentlich Entwicklung der mathematischen Logik zur logischen Analyse grundlegender Begriffe der Mathematik und der Logik zur Klärung des Antinomieproblems bei.

siehe auch logischer Empirismus



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