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Lorentztransformation


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Die Lorentztransformation nach ihrem Entdecker Hendrik Antoon Lorentz ( 1853 - 1928 ) benannt ist die grundlegende Gleichung der speziellen Relativitätstheorie . Mit der Lorentztransformation werden Koordinaten zwischen bewegten Systemen umgerechnet (transformiert). Kerngröße der Lorentztransformation die Lichtgeschwindigkeit c und eine wesentliche Eigenschaft der Lorentztransformation dass nur Transformationen erlaubt sind die zwischen stattfinden deren Relativgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit nicht überschreitet. diese letzte Eigenschaft genau diejenige ist welche speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegt kann man auch dass die Lorentztransformation die mathematischen Regeln der Relativitätstheorie bestimmt.

Inhaltsverzeichnis

Entstehung der Gleichungen

Lorentz formulierte die Transformationsgleichungen bevor die Relativitätstheorie bekannt war.

Elektromagnetische Wellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus und Maxwellgleichungen sind (obwohl das zur Zeit ihrer unbekannt war) nur als Gleichungen einer Welt in der (lokal) die spezielle Relativitätstheorie gilt. die Maxwellgleichungen formuliert wurden kannte man allerdings den absoluten Raum und die absolute Zeit klassischen Mechanik in der die Galileitransformation für Koordinatentransformationen anzuwenden ist. Unter der lassen sich die Maxwellgleichungen jedoch nicht transformieren.

Es war Hendrik Lorentzens Erfolg die 1900 nach ihm benannte Lorentztransformation als die zu erkennen die die Gleichungen der Elektrodynamik Zu diesem Zeitpunkt war Ätherhypothese Grundlage elektromagnetischer Phänomene. Es war allerdings woraus dieser Äther bestehen sollte. Verschiedene Experimente auf eine Mitführung des Äthers z. B. die Erde hin andere wiederum nicht. Lorentz dass sich verschiedene Phänomene erklären lassen wenn für elektromagnetische Erscheinungen eine Verkleinerung des Längenabstandes Bewegungsrichtung des Bezugssystems und eine etwas vergrößerte die er Ortszeit nannte annimmt. Ihm gelang Formulierung einer geschlossenen mathematischen Theorie. Er hielt an der Vorstellung des Äthers der in Koordinatensystem ruhen sollte (und dieses Bezugssystem auszeichnet)

Mit Albert Einsteins Formulierung der speziellen wurde die klassische Mechanik und die Ätherhypothese abgelöst. Er leitete Gleichungen aus dem Prinzip der Konstanz der in jedem Bezugssystem und des Nichtvorhandenseins eines Bezugssystems ab und wendete sie auch auf aus der Mechanik an. Die Lorentztransformation ersetzte alte Galileitransformation. Die Galileitransformation wiederum bleibt im kleiner Geschwindigkeiten (in sehr guter Näherung) gültig.

Mathematische Formulierung

Die Lorentztransformationen bilden eine mathematische Gruppe deren Elemente ein Koordinatensystem in ein transformieren. Diese Koordinatensysteme werden in der Regel Intertialsysteme bezeichnet. Die drei Raumkoordinaten x y und z und die Zeitkoordinate t die ein so genanntes Ereignis in unserer Welt beschreiben werden zu Vierervektor zusammengefasst der Element des Minkowskiraumes ist (siehe auch Lorentz-Transformation und Minkowski-Raum ). Auch alle anderen Vierervektoren also nicht Viererortsvektoren werden durch die gleiche Lorentztransformation transformiert. Folgenden wird die Transformation an einem Viererortsvektor dargestellt.

Die Sprache der Lorentztransformation ist folgendermaßen: Ausgangskoordinatensystem wird als S der Vierervektor darin <math>(x y z ct)</math> bezeichnet; das transformierte S' hat dann die Koordinaten <math>(x' y' ct')</math>. Von eigentlichem Interesse sind Transformationen zwischen Systemen S und S' die sich relativ bewegen. (Transformationen zwischen Systemen die zueinander unbewegt wie etwa zueinander gedreht lassen sich nach einfacheren Regeln der Galileitransformation berechnen. Wenn man Lorentztransformation um Verschiebungen erweitert erhält man die Poincarégruppe welche Geometrie der Minkowskiraumes definiert. Lorentztransformationen ohne Drehung Bezugssysteme werden auch als "Lorentz-Boosts" bezeichnet solche Drehung als Poincaré-Transformationen.)

Wenn die relative Bewegung der Koordinatensysteme der x -Achse mit der Geschwindigkeit v erfolgt und der Ursprung <math>(0 0 0)</math> beider Koordinatensysteme übereinstimmt dann nimmt die folgende Gestalt an:

<math>x' = \gamma (x - vt)</math>
<math>y' = y</math>
<math>z' = z</math>
<math>t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}}
wobei
<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>
und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.

Es gilt <math>\gamma \ge 1</math>. Für nahe der Lichtgeschwindigkeit wird <math>\gamma</math> sehr groß. kleine Geschwindigkeiten (im Alltagsleben beobachtete Geschwindigkeiten sind diesem Sinne immer klein) ist <math>\gamma \approx 1</math>. Die wird für <math>\gamma = 1</math> zur Galileitransformation.

Ein allgemeiner Lorentz-Boost für zwei Bezugssysteme sich mit einer Relativgeschwindigkeit <math>\vec{V}</math> zueinander bewegen gegeben durch:

<math>\vec{r'} = \vec{r}+\left( \frac{(\gamma-1)(\vec{r}\cdot\vec{V})}{V^2}-\gamma t\right)\vec{V}</math>
<math>t' = \gamma \left( -\frac{\vec{r}\cdot\vec{V}}{c^2}+t\right)</math>

Dabei ist

<math>\vec{r}=(x y z)</math>

Es gibt verschiedene mathematische Schreibweisen um Lorentztransformation auszudrücken. Teilweise ist die Zeitkoordinate die Koordinate des Vierervektors; teilweise wird in Einheiten Lichtgeschwindigkeit gerechnet d. h. c wird gleich 1 gesetzt und die v ist dann eine Zahl zwischen 0 1; teilweise wird die Zeitkoordinate im Minkowskiraum imaginäre Zahl behandelt.

Ganz allgemein kann man jede Lorentztransformation eine Abbildung <math> \Lambda </math> definieren die Vierervektor V transformiert:

<math> V \rightarrow \Lambda V </math>
derart dass
<math> \Lambda^T g \Lambda = g
ist. Hier bezeichnet <math>T</math> die orthogonale in Matrix-Sprechweise transponierte) Abbildung. <math>g</math> ist die des Minkowskiraumes und stellt sich als <math>4 4</math>-Matrix als
<math>g=
 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 \\ 0 & 1 & 0 0 \\ 0 & 0 & 1 0 \\ 0 & 0 & 0 -1 \\ \end{bmatrix} </math>  
dar. Als <math>4 \times 4</math>-Matrizen dargestellt die <math>\Lambda</math>-Abbildungen eine Repräsentation der <math>SO(3 1)</math>-Gruppe.

Lorentzinvarianz

Größen oder Gleichungen die sich unter Lorentztransformation nicht verändern werden als Lorentzinvarianten bezeichnet lorentzinvariante Größen auch "Lorentzskalare".

Die einfachste lorentzinvariante Größe ist der relativistische Abstand (hier vom Koordinatenursprung)

<math> s = \sqrt{x^2 + y^2 z^2 - c^2t^2} </math>
der im transformierten System zu
<math> s' = \sqrt{x'^2 + y'^2 z'^2 - c^2t'^2} </math>
wird. Unter einer Lorentztransformation ist dieser erhalten d. h.
<math> s' = s </math>.

Der relativistische Abstand ist gleich der des Skalarproduktes des Viererortsvektors mit sich selbst. Auch anderen Skalarproduke zwischen Vierervektoren (z. B. Viererortsvektor Vierergeschwindigkeit Viererbeschleunigung Viererimpuls Vierervektorpotential) sind lorentzinvariant. Lorentzskalare können als Vierer tensoren nullter Stufe angesehen werden und somit durch Verjüngung von Tensoren höherer Stufe entstehen.

Die Maxwellgleichungen sind ebenfalls lorentzinvariant. Sie in allen Inertialsystemen die gleiche Form.

Folgerungen für spezielle Vierervektoren

Die Lorentztransformation vermischt anders als die die ersten drei Komponenten eines Vierervektors mit letzten Komponente. Das hat einige auf den Blick unanschauliche Folgen.

Vierererortsvektor

Bei der Lorentztransformation eines Viererortsvektors werden Ortskoordinaten mit der Zeitkoordinate vermischt. Deshalb ist Rahmen der Relativitätstheorie keine absolute Gleichzeitigkeit räumlich Ereignisse mehr definiert. Einzig der Viererabstand s zweier Ereignisse und damit ihre Eigenschaft ( s ²>0) lichtartig ( s ²=0) oder zeitartig ( s ²<0) zueinander zu sein bleibt durch die erhalten. Das bedeutet dass zwei Ereignisse die einem Bezugssystem zum selben Zeitpunkt an unterschiedlichen stattfinden in einem dazu bewegten zu unterschiedlichen stattfinden können. Zu jedem raumartig getrennten Ereignispaar es ein Bezugssystem in dem die Ereignisse stattfinden und zu jedem zeitartig getrennten Ereignispaar es eines in dem die Ereignisse am Ort stattfinden. Lichtartig getrennte Ereignisse finden entweder allen oder in keinem Bezugssystem zur gleichen und am gleichen Ort statt.

Zeitdilatation und Längenkontraktion sind die unmittelbaren Folgen der Lorentztransformation Viererortsvektoren.

Vierergeschwindigkeit

Die vierte Komponente der Vierergeschwindigkeit ist c</math> enthält also neben der Geschwindigkeit keine physikalische Größe. Die Geschwindigkeit selbst (in den drei Komponenten mulitipliziert mit <math>\gamma</math>) wird aber anders transformiert als durch die Galileitransformation. Die der Bezugssysteme wird nicht einfach hinzuaddiert. Falls Geschwindigkeiten in die selbe Richtung zeigen addieren die Rapiditäten (also die Größe <math>\mathrm{artanh}(v/c)</math> siehe Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten ). Die sich ergebende Geschwindigkeit (auch im Fall unterschiedlicher Richtung) ist immer kleiner als Lichtgeschwindigkeit so dass diese als Genzgeschwindigkeit anzusehen Die Lichtgeschwindigkeit selbst bleibt beim Wechsel des konstant wie nicht anders zu erwarten ist die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit eine Grundannahme bei Herleitung der Lorentztransformation ist.

Experimentelle Nachweise

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurden viele Experimente zur Messung der angestellt u.a. von Michelson und Morley die 1888 in ihrem berühmten Experiment ( Michelson-Morley-Experiment ) eine Genauigkeit über 10 -5 erreichten. (Später ließen sich z.B. mit des Mößbauer-Effekts noch wesentlich höhere Genauigkeiten erzielen.) Diese ergaben die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit unabhängig vom der Erde des Beobachters usw. Hilfsannahmen wie Mitführung des Äthers als Medium für die von Licht können nicht alle Phänomene erklären.

Im Bereich der Elementarteilchen lässt sich die Zeitdilatation als Verlängerung Lebensdauer direkt nachweisen.



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