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Minimum (Mathematik)


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Das Minimum ist eine mathematische Funktion deren Rückgabewert jener Parameter ist der im Vergleich zu anderen am kleinsten ist. Die Minimum-Funktion ist somit für Parameter definiert die eine totale Ordnung haben.

Die Parameter können auch alle Werte Funktion sein. Ist dies der Fall dann der Rückgabewert das globale Minimum der Funktion. Bei Funktionen spricht man von einem lokalen Minimum an einer Stelle die das Minimum Bereiches der Funktion aber nicht der gesamten ist. Die Minima und Maxima der Funktion werden alle als Extremwerte bezeichnet.

Nicht zu verwechseln ist das Minimum dem Infimum das die größte untere Schranke ist nicht notwendig zur Menge gehört von der das Minimum bestimmt soll.

Siehe auch: Maximum (Mathematik) Kurvendiskussion

Verallgemeinerung auf halbgeordnete Mengen

Man kann minimale Elemente einer Menge nur für total geordnete Mengen definieren sondern beliebige halbgeordnete Mengen.

Ein Element m einer halbgeordneten Menge heißt minimales Element wenn es in der Menge kein gibt das kleiner als m ist.
Davon zu unterscheiden ist der Begriff kleinsten Elements.
Ein Element k einer halbgeordneten Menge heißt kleinstes Element wenn jedes Element der Menge größerklein k ist. Das kleinste Element nennt man Infimum der Menge.

Beispiel
Die Menge der nichtleeren Teilmengen der {0 1 2} ist bezüglich der Mengeninklusion Minimale Elemente sind {0} {1} und {2} ist keins von ihnen ein kleinstes Element z.B. {0} nicht größer ist als {1}.

Eigenschaften
Hat eine Menge ein kleinstes Element ist es eindeutig bestimmt und ist das minimale Element der Menge.

Hat eine total geordnete Menge ein Element so ist es das kleinste Element.



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