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Mittelwert


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Als Mittelwert bezeichnet man verschiedene mathematisch definierte statistische Kenngrößen die sich aus eine Reihe Messwerten (beispielsweise einer Stichprobe ) berechnen lassen. Aufgabe des Mittelwertes ist Aufschluss über den Durchschnittswert vorliegender Werte zu Es gibt verschiedene Arten von Mittelwerten.

Im folgenden seien <math>x_1 \ldots x_n</math> Messwerte deren Mittelwert berechnet werden soll.

Inhaltsverzeichnis

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt ) ist der am häufigsten benutze Mittelwert wird deshalb auch als Standardmittelwert bezeichnet.

<math> \bar{x}_{arithm} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \frac{x_1 x_2 + \cdots + x_n}{n}</math>

Beispiel für das arithmetische Mittel von und 100:

<math>\frac{50+100}{2} = 75</math>

Das arithmetische Mittel einer Stichprobe ist vielen Kriterien eine geeignete Schätzung für den Erwartungswert der Verteilung aus der die Stichprobe

Das arithmtische Mittel lässt sich auch einem Histogramm bzw. aus einer Dichtefunktion ermitteln.

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel ist ein geeignetes für Größen von denen das Produkt anstelle Summe interpretierbar ist z. B. von Verhältnissen Wachstumsraten.

<math> \bar{x}_{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} </math>

Beispiel für das geometrische Mittel zwischen und 300:

<math> \sqrt[2]{3 \cdot 300} = 30 </math>

Harmonisches Mittel


Das harmonische Mittel ist ein geeignetes für Größen die durch einen Bezug auf Einheit definiert sind z.B. von Geschwindigkeiten (Strecke Zeiteinheit) oder Ernteerträgen (Gewicht oder Volumen pro

<math> \bar{x}_{harm} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} </math>

Beispiel für das harmonische Mittel zwischen und 20:

<math> \frac{2}{\frac{1}{5}+\frac{1}{20}} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8 </math>

Verallgemeinerter Mittelwert (m. Mittel)

<math>\bar{x}(m) = \sqrt[m]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^m}}</math>

Mittels geeigneter Wahl des Parameters m können die drei obigen Mittelwerte erzeugt

Allgemein gilt für -∞ ≤ s < t ≤ ∞:

<math>\bar{x} (s)\leq \bar{x} (t)</math>

Für die Spezialwerte -1 0 1 gilt nach der Cauchy-Ungleichung stets:

<math>x_{harm} \leq x_{geom} \leq x_{arithm} \leq \leq x_{max}</math>

Das harmonische Mittel lässt sich auch berechnen als <math>x_{harm}=\frac{x_{geom}^2}{x_{arithm}}</math>

Mittelwert einer Funktion

Der Mittelwert der Funktion <math>f</math> mit Gewicht <math>g</math> ist

<math> \bar{f} = \frac{\int f(x) g(x) \mathrm{d}x}{\int \mathrm{d}x} </math>

Gewichtetes Mittel

Das gewichtete Mittel wird verwendet wenn Mittelwerte aus Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen kombinieren will:

<math> \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n {w_i}}

Die Gewichte <math>w_i</math> sind die Umfänge Teilstichproben oder in anderen Anwendungen ein Maß die Zuverlässigkeit des jeweiligen Wertes der dementsprechend den mehr oder weniger stark beeinflusst.

Winsorisiertes oder gestutztes Mittel

Kann man davon ausgehen dass die durch "Ausreißer" d.h. einige wenige zu hohe zu niedrige Werte kontaminiert sind so sortiert die Beobachtungswerte nach aufsteigender Größe schneidet eine Anzahl von Werten am Anfang und am der Folge ab und berechnet von den Werten den Mittelwert. Ein 10% winsorisiertes Mittel man wenn man 5% der Gesamtzahl aller am unteren und 5% am oberen Ende

Siehe auch

Median Erwartungswert Stochastik Varianz Wahrscheinlichkeitsverteilung

Weblinks



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