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Moment (Physik)


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In der Mechanik bezeichnet man als Moment ein entgegengesetzt gerichtetes gegeneinander versetztes gleich Kräftepaar sowie jede andere Belastung die auf Körper dieselbe Wirkung ausübt.

Im technischen Bereich existiert eine Nomenklatur der das Drehmoment eine spezielle Momentart bezeichnet. Im allgemeinen des Begriffs Drehmoment umfasst dieser Begriff auch was hier unter Moment definiert wird.

Die Größe des Moments ist das aus einer der beiden Kräfte und dem der beiden parallelen Geraden voneinander in denen beiden Kräfte wirken. Diesen Abstand bezeichnet man Hebelarm. Das Moment ist im allgemeinsten Sinne ein Vektor der rechtwinklig zur Ebene zeigt von beiden Kraftvektoren aufgespannt wird. Die Richtung Vektors ist per Definition diejenige Richtung in eine Schraube mit Rechtsgewinde fortschreiten würde. Man dies auch als Rechte-Hand-Regel: die gekrümmten Finger in Drehrichtung und der Daumen in Richtung Momentenvektors.

Die physikalische Dimension ist demnach das aus Kraft und Weg. Im SI-System hat ein Moment die (abgeleitete) Maßeinheit (Nm) gleichbedeutend mit <math>\mathrm{kg\ m^2/s^2}</math>.

Folgendes praktische Beispiel veranschaulicht wie man ein Moment vorstellen kann. Man versucht ein sehr verrostetes Motorrad auseinanderzunehmen und möchte gerne horizontal angeordnete festgerostete Innensechskantschraube lösen. Klugerweise hat den Innensechskantschlüssel mit einem ca. 1m langen verlängert. Nehmen wir an dieser Hebelarm zeigt links muss also herabgedrückt werden. Falsch ist das Ende des Hebelarms mit aller Gewalt zu drücken und den Innensechskantschlüssel an der nur ein wenig festzuhalten denn die andere des Kräftepaars wird dann von der Schraube aufgebracht - sie reagiert genauso als ob ein Sechskantprofil hineinstecken und sich draufstellen würde. Innensechskant wird auf Biegung beansprucht und zerstört. dagegen ist mit der linken Hand das am Ende abwärts zu drücken und mit rechten Hand dicht an der Schraube genauso aufwärts zu ziehen. Dann leitet man keine sondern nur ein Moment in die Schraube und sie löst sich.

Eine Kraft <math>\vec{P}</math> die in einem A angreift kann man mit einer gleichen <math>\vec{Q}</math> und entgegengesetz gleichen Kraft <math>\vec{R}</math> ergänzen beide im Punkt B angreifen und sich gegenseitig aufheben. Betrachtet man nun <math>\vec{Q}</math> als von A nach B verschobene Version der <math>\vec{P}</math> ergibt sich dass zusätzlich ein Moment dem Kräftepaar <math>\vec{P}</math> und <math>\vec{R}</math> entsteht. Das ist in der folgenden Skizze ein Vektor in die Ebene hineinzeigt und beträgt <math>\overrightarrow{BA} \vec{P}</math> also das Kreuzprodukt aus dem Ortsvektor Kraftangriffspunktes und dem Kraftvektor. (Vektoren in der Skizze durch Fettdruck gekennzeichnet.)

 A A A  P  ---->o o  P  ---->o | | | | = + | | | | o  Q  ---->o o<----  R  B B B  

Wenn an einem Körper sehr viele <math>\vec{F}_1 \vec{F}_2 \vec{F}_3 \ldots</math> in den Punkten \vec{r}_2 \vec{r}_3 \ldots</math> wirken rechnet man sie diesem Sinne auf einen gemeinsamen Bezugspunkt <math>\vec{r}_0</math> indem man sie alle dorthin verschiebt und die Momente

<math>
\vec{M}_1 = (\vec{r}_1-\vec{r}_0)\times\vec{F}_1 </math>
<math>
\vec{M}_2 = (\vec{r}_2-\vec{r}_0)\times\vec{F}_2 </math>
<math>
\vec{M}_3 = (\vec{r}_3-\vec{r}_0)\times\vec{F}_3 </math>
<math>
\ldots </math> einführt.

Wenn derKörper irgendwo befestigt ist schneidet ihn (in Gedanken) frei und bezieht die in die Betrachtung mit ein. Schnittlasten sind von der weggeschnittenen Umgebung auf den Körper Kräfte und Momente. Der Körper befindet sich Gleichgewicht wenn nicht nur alle (in den Bezugspunkt umgerechneten) Kräfte in der Summe null sondern auch alle Momente (die beim Verschieben Kräfte in den Bezugspunkt hinzukommen):

<math>
\sum_{(i)} \vec{F}_i = 0\; \quad \sum_{(i)}\vec{M}_i \sum_{(i)}(\vec{r}_i-\vec{r}_0)\times\vec{F}_i = 0 </math>

Anderenfalls wird der Körper durch die und Momente translatorisch und/oder rotatorisch beschleunigt. Hierbei man als körperfesten Bezugspunkt am zweckmäßigsten den (Massenmittelpunkt) am Ort <math>\vec{r}_G</math>. Ein beliebiger Punkt Körpers hat die Geschwindigkeit

<math>
\frac{\partial r}{\partial t}= \frac{\partial r_G}{\partial t} \times (\vec{r}-\vec{r}_G)\ </math> wobei der Drehgeschwindigkeitsvektor <math>\vec{\omega}</math> der Rechte-Hand-Regel in Richtung des Daumens zeigt die Fingerspitzen in Drehrichtung zeigen.

Aus dem zweiten newtonschen Gesetz („Kraft = Masse mal Beschleunigung“) ergeben Schwerpunktsatz und Drallsatz

<math>
m \frac{\partial^2 \vec{r}_G}{\partial t^2} = \sum_{(i)} </math>
<math>
\frac{\partial}{\partial t}(\Theta \cdot \vec{\omega}) = \Theta \frac{\partial \vec{\omega}}{\partial t} + \vec{\omega} \times (\Theta \vec{\omega})= \sum_{(i)} \vec{M}_i\ . </math> Darin ist die Masse des Körpers. <math>{\Theta\ }</math> ist Massenträgheitstensor im Allgemeinen ein Tensor zweiter Stufe darstellbar als 3x3 Matrix. Komponenten sind die im körperfesten System zeitlich Massenträgheits- und Deviationsmomente.

Im einfachsten Fall wenn der Körper um eine raumfeste Achse dreht und doppelt ist (beide Symmetrieebenen schneiden sich in der vereinfacht sich der Drallsatz zu „Massenträgheitsmoment mal = Momentensumme“ in Analogie zu „Masse mal = Kräftesumme“.

In Wellen Trägern und anderen Balken unterscheidet man die Schnittmomente

  • Biegemoment Momentenvektor quer zur Achse Balken gekrümmt
  • Torsionsmoment Momentenvektor in Achsrichtung Balken wird
Man betrachtet dabei einen Teil des von dem der restliche Balken (in Gedanken) wurde und definiert die Schnittkräfte und Schnittmomente Komponenten des Kraftvektors und des Momentenvektors den weggeschnittene Teil auf das Schnittufer ausübt.

Literatur

  • Szabó: Einführung in die Technische Mechanik. Springer
  • Gummert Reckling: Mechanik. Vieweg 1994



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