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Morphismus


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Eine Kategorie ist gegeben durch zwei Daten: Eine Klasse von Objekten und für je zwei Objekte X und Y einen Morphismus von X nach Y . Man schreibt Morphismen als Pfeile f : X -> Y . Im Fall einer konkreten Kategorie sind X und Y bestimmte Mengen und ein Morphismus f ist eine Funktion f : X -> Y die bestimmte Bedingungen erfüllt. Es ist nicht jede Kategorie automatisch konkret also ist nicht die unbedingt einzige Art von Morphismen.

Beispiele

Beispiele von Morphismen sind Homomorphismen der Kategorien die in der universellen Algebra studiert werden (z.B. Gruppen oder Ringen ) stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen differenzierbare Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten .

Typen von Morphismen

  • Jedes Objekt X in jeder Kategorie hat einen identischen Morphismus geschrieben id X der ein neutrales Element der Komposition ist.
  • Sind f : X -> Y und g : Y -> X Morphismen mit f o g = id Y dann heißt f eine Retraktion (???) und g eine Sektion (???) .
  • Ist f sowohl eine Retraktion als auch eine dann heißt f Isomorphismus . In dem Fall können die Objekte X und Y als völlig gleichartig innerhalb ihrer Kategorie werden.
  • Ein Morphismus von X nach X heißt Endomorphismus von X .
  • Ein Endomorphismus der gleichzeitig ein Isomorphismus ist heißt Automorphismus .
  • Ein Morphismus f : X -> Y mit folgender Eigenschaft heißt Epimorphismus :
    Sind g h : Y -> Z beliebige Morphismen mit g o f = h o f dann ist stets g = h .
  • Ein Morphismus f : X -> Y mit folgender Eigenschaft heißt Monomorphismus :
    Sind g h : W -> X beliebige Morphismen mit f o g = f o h dann ist stets g = h .
  • Ist f sowohl ein Epimorphismus als auch ein dann ist f ein Bimorphismus. Beachte dass nicht jeder ein Isomorphismus ist. Es ist jedoch jeder ein Isomorphismus der Epimorphismus und Sektion oder und Retraktion ist.



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