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Natürliche Zahlen


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Natürliche Zahlen sind die dem mathematischen Laien wohl Zahlen . Die Menge der natürlichen Zahlen enthält die Zahlen 0 1 2 3 ...; die nichtnegativen ganzen Zahlen . Oftmals wird die Menge der natürlichen ohne die Null definiert. Für eine formale Definition der der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln es aber sinnvoll auch die Null als Zahl zu bezeichnen.

Inhaltsverzeichnis

Peano-Axiome

Es folgt eine Definition der Axiome natürlichen Zahlen die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt.

  1. 0 ist eine natürliche Zahl.
  2. Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n +1 der wieder eine natürliche Zahl ist.
  3. 0 ist kein Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl.
  4. Sind zwei natürliche Zahlen verschieden d.h. n m dann haben sie verschiedene Nachfolger also n +1 ≠ m +1
  5. Gilt für eine Menge X : 0 ∈ X und für jedes n X ist auch n +1 ∈ X so enthält X alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst Teilmenge der natürlichen Zahlen ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.)

Die ersten beiden Axiome zeigen den Aufbau der natürlichen Zahlen. Das letzte Axiom man auch das Induktions-Axiom es bildet die für die Beweismethode der vollständigen Induktion . Peano selbst begann die natürlichen Zahlen seinen Axiomen mit der 1 statt mit 0 (laut dem Artikel auf [1] ).

Die Peano-Axiome bilden ein Axiomensystem der zweiter Stufe da neben Variablen für Zahlen Induktionsaxiom auch die Mengenvariable X vorkommt. Ersetzt man dieses Axiom durch entsprechenden unendlich vielen Axiome erster Stufe so man zur Peano-Arithmetik .

Ein Modell der natürlichen Zahlen

Peano beschrieb mit seinem Axiom-System zwar Eigenschaften von natürlichen Zahlen er bewies aber deren Existenz. Erst John von Neumann lieferte ein Beispiel für ein Modell natürlichen Zahlen indem er sie aus der leeren Menge her aufbaute:

<math>0 := \emptyset</math>
<math>1 := \{0\} = \{\emptyset\}</math>
<math>2 := \{0 1\} = \{\emptyset
.
.
.
<math>n+1 := \{0 1 ... n\} n \cup \{n\}</math>

Zur Erklärung: Eins ist die Menge die nur die Menge (=<math>\emptyset</math>) als Element enthält; das ist die leere Menge selbst!

Für die Menge der natürlichen Zahlen das Symbol N (fett dargestellt) verwendet. Weil dies handschriftlich schwer darstellbar ist schreibt man dann ein Mit der Zeit hat sich das Symbol als Symbol für die natürlichen Zahlen (und die anderen Doppelstrich-Buchstaben für die anderen Zahlenbereiche) im Drucksatz durchgesetzt.

Da nicht überall die 0 als Element der natürlichen Zahlen angesehen wird ist sinnvoll von positiven (1 2 3 ...) und nicht-negativen (0 1 2 ...) ganzen Zahlen sprechen.

In Texten in denen die Menge natürlichen Zahlen ohne Null als <math>\mathbb{N}</math> bezeichnet wird wird Unterscheidung das Symbol <math>\mathbb{N}_0</math> oder <math>\mathbb{N} \cup 0 \}</math> für die Menge der natürlichen mit Null verwendet. Falls jedoch das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null eingeführt wurde wird meist <math>\mathbb{N}^+</math> oder <math>\mathbb{N} \setminus \{0\}</math> geschrieben wenn die explizit ausgeschlossen werden soll.

Die Primzahlen stellen die multiplikativen Grundbausteine der natürlichen dar: Jede natürliche Zahl außer der 0 sich auf genau eine Art als Multiplikation Primzahlen zusammensetzen. Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist dabei die Aussage des Fundamentalsatz der Arithmetik .

Die 1 ist keine Primzahl; ihre ist das leere Produkt mit 0 Faktoren definitionsgemäß den Wert 1 hat.

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