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Neutrales Element


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In der Algebra treten neutrale Elemente bei der Betrachtung von Strukturen mit Verknüpfungen auf z.B. bei Monoiden Gruppen Ringen und Körpern .

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei ( G o) eine Halbgruppe (eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung). heißt ein Element e

  • linksneutral falls e o a = a für alle a aus G ist
  • rechtsneutral falls a o e = a für alle a aus G ist
  • neutral falls e linksneutral und rechtsneutral ist.

Ist die Verknüpfung kommutativ dann stimmen drei Begriffe überein. Falls sie aber nicht ist dann kann es Unterschiede zwischen rechtsneutralen linksneutralen Elementen geben.

Eine Halbgruppe G mit neutralem Element heißt Monoid . Hat zusätzlich jedes Element von G ein Inverses so ist G eine Gruppe .

Ist R ein Ring dann ist R mit der Addition eine kommutative Gruppe neutrales Element als Nullelement bezeichnet wird. Die Multiplikation muss kein Element haben wenn aber eins existiert dann es Einselement .

Beispiele

In den reellen Zahlen ist 0 das neutrale Element der und 1 das neutrale Element der Multiplikation 0+ x = x +0 = x und 1* x = x *1 = x für jedes x .

Im Ring der n-mal-n-Matrizen über einem ist die Nullmatrix das neutrale Element der und die Einheitsmatrix das neutrale Element der

Eigenschaften

Wenn eine Halbgruppe G sowohl rechtsneutrale als auch linksneutrale Elemente dann stimmen alle diese Elemente überein und G hat genau ein neutrales Element. Denn a*e = a und f*a = a für alle a dann ist f = f * e = e .

Das neutrale Element eines Monoids ist eindeutig bestimmt.

Hat eine Halbgruppe aber kein rechtsneutrales dann kann sie mehrere linksneutrale haben. Einfachstes ist eine beliebige mindestens zweielementige Menge M mit der Verknüpfung a o b := b . Darin ist jedes Element linksneutral aber rechtsneutral. Analog gibt es auch Halbgruppen mit aber ohne linksneutrale Elemente.

So etwas kann auch bei der in Ringen auftreten. Ein Beispiel ist der Teilring R der 2-mal-2-Matrizen über einem beliebigen Körper K .

<math>R = \left\{ \begin{pmatrix}a & b \\ & 0
\end{pmatrix} | a b \in K

Man rechnet leicht nach dass R ein nichtkommutativer Ring ist. Linksneutral bzgl. Multiplikation sind genau die Elemente

<math>\begin{pmatrix}1 & x \\ 0 & 0\end{pmatrix}</math>
mit x aus K . Nach dem oben gesagten kann die in R dann keine rechtsneutralen Elemente haben.

Siehe auch:

Weblinks



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