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Null (Zahl)


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Anschaulich betrachtet stellt die Null das Nichtvorhandensein von Elementen oder Gegenständen In vielen Kulturen des Altertums wurde mit Null nicht gerechnet da sie keine greifbare darstellt. Im Lateinischen wurde anstatt einer Zahl das Wort "nihil" (= nichts) verwendet. Rechnen man mit der Null seinerzeit nicht.

Im arabischen Zahlensystem wird die Zahl Null durch die Ziffer 0 dargestellt.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Betrachtung

Addition

Die Null symbolisiert im mathematischen Sinne neutrale Element der Addition in einem Monoid . Es gilt für die Addition:

<math> a + 0 = a 0 + a </math>

Die Null im mathematischen Sinne (als neutrales Element eines Monoids ) ist stets eindeutig. In Restklassenkörpern und Restklassenringen gibt es zwar nur eine Null aber von unendlich vielen ganzen Zahlen repräsentiert

In Restklassenringen (aber nicht nur dort) so genannte Nullteiler zum Beispiel gilt im Restklassenring modulo 6 die Gleichung 2 · 3 = Daraus folgt jedoch nicht dass 0 / 2 = 3 denn auch 2 · 0 = 0 kann also diesen Quotienten nicht eindeutig (und sinnvoll) definieren. Man kann also nicht nur durch Null teilen sondern auch nicht durch Nullteiler dividieren.

Multiplikation

Durch Einführung der Rechenoperation der Multiplikation mathematisch formal in der Definition eines Ringes erhält man folgende Regel:

<math> a \cdot 0 = 0
Man sagt auch die Null ist absorbierendes Element der Multiplikation.

Potenzrechnung

Die Erweiterung der Rechenoperationen zur Potenzierung in einem Körper definiert erfordert dass

<math> a^0 = 1 </math>
immer gilt.

Der unanschauliche Spezialfall

<math> 0^0 = 1 </math>
wird in der Regel per Definition Man erreicht ihn z.B. aufgrund der Forderung der Wert der Funktion <math> f(x) = x^0 </math> an Stelle <math> x=0 </math> stetig sein soll.

Ebenso lässt sich jedoch <math>0^0=0</math> definieren der Grenzübergang von <math>0^x = 0</math> für gegen Null stetig ist.

Der Grenzwert von <math>x^x</math> strebt für gegen Null ebenfalls gegen 1.

Division durch Null

Dadurch dass die Null keine greifbare darstellt gibt es auch noch andere Probleme; man eine beliebige Zahl durch Null so das Ergebnis nicht eindeutig definierbar.

Allgemein kann die Division natürlicher Zahlen als wiederholte Subtraktion angesehen werden:

Bestimme 12 : 4
  12 - 4 = 8
  8 - 4 = 4
  4 - 4 = 0
  Die Anzahl der Subtraktionen ist 3.
Also ist 12 : 4 =
Bei 12:0 lautet die Frage: Wie oft muss ich 0 von 12 um 0 zu erhalten? Antwort: Keine Anzahl von Operationen bringt gewünschte Ergebnis. Nota bene : In der Didaktik der Mathematik werden Verbote ("durch null darf man nicht dividieren") als schädlich angesehen der Gedankengang leicht herzuleiten ist und den nicht ein Eindruck von Willkürlichkeit im Fach vermittelt werden soll. Besser ist es also Aussage "durch null kann man nicht dividieren" zu begründen. In reellen Analysis ist es nicht möglich durch zu dividieren da diese Operation kein eindeutiges hätte (entweder gar keins [z.B. für 1/0] mehrere [nur für 0/0]). Dies gilt allgemein jeden Ring .

Da die Division durch Null nicht ist stellt sie in Berechnungen auf dem einen Laufzeitfehler dar. Dieser führt zu Ausnahmebehandlungen sogar zu Programmabbrüchen falls der Fehler nicht wird.

historische Irrtümer

Leonhard Euler argumentiert ohne die richtige Kenntnis der Zahlen (historisch falsch) folgend:
  • Die negativen Zahlen seien größer als unendlich. Annahme: a/0 =∞ ( unendlich ) . Daraus folge daß das Resultat der von a durch eine Zahl kleiner als größer als unendlich sein muß. Dies ist

Im gewissen Sinne hat Euler damit die Zweierkomplementdarstellung von ganzen Zahlen im Computer vorweggenommen denn in dieser sind die negativen Zahlen - aufgefasst als Binärzahl - tatsächlich größer als die positiven.

Hilfsdefinitionen für die Division durch Null

Es ist möglich die reellen Zahlen um zwei Symbole ∞ und -∞ zu erweitern so einige Rechenregeln auch für die beiden Unendlich -Symbole gelten z.B. ist dann a / 0 = ∞ für positive a b / 0 = -∞ für negative b jedoch ist 0*∞ nicht a sondern undefiniert genauso wie auch 0 0 undefiniert bleibt.

Diese Herangehensweise entspricht der Verwendung bei Berechnung von Grenzwerten in der reellen Analysis. Demzufolge ist die generelle Aussage "die Division durch 0 verboten" mathematisch nicht korrekt sondern entsprechend dem Zusammenhang zu relativieren.

Siehe auch: Null (Ziffer) Null (EDV) Die Regel von de L'Hospital

Literatur

  • Charles Seife: Zwilling der Unendlichkeit. Eine Biographie der Zahl ISBN 344215054X
  • Robert Kaplan: Die Geschichte der Null ISBN 3492239188



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