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Ordinalzahl


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
Beim Zählen benutzt man Ordinalzahlen um die Position eines Elements in Folge anzugeben: " Erstes zweites drittes ... Element". Sprachlich benutzt man dazu Zahlwörter .

Der Mathematiker Georg Cantor beschrieb wie man dieses Konzept innerhalb Mengenlehre auf unendliche Mengen verallgemeinern kann und wie man mit transfiniten Ordinalzahlen rechnen kann.

Eine natürliche Zahl kann für zwei Zwecke benutzt werden: einen um die Anzahl der Elemente einer (endlichen) Menge zu beschreiben und anderen um die Position eines Elements in einer geordneten Menge anzugeben. Während beiden Konzepte für endliche Mengen übereinstimmen muss sie für unendliche Mengen unterscheiden. Die Beschreibung Größe einer Menge führt zum Begriff der Kardinalzahl während die Beschreibung der Position in geordneten Menge zu Ordinalzahlen führt die hier sind.

Inhaltsverzeichnis

Natürliche Zahlen als Mengen

Man definiert die natürlichen Zahlen in Mengenlehre üblicherweise auf die folgende Weise:

0 := {} (die leere Menge)
1 := {0} = { {}
2 := {0 1} = { {{}} }
3 := {0 1 2} = {} {{}} {{} {{}}} }
4 := {0 1 2 3}
...

So definiert sind natürliche Zahlen wohlgeordnet . Zum Beispiel hat die Zahl 4 Elemente 0 1 2 3 die als < 1 < 2 < 3 geordnet Eine natürliche Zahl a ist dabei kleiner als eine Zahl b wenn a ein Element von b ist.

Motivation und Definition

Wir wollen zwei wohlgeordnete Mengen nicht wenn sie sich nur im "Aussehen" ihrer nicht aber in deren Anordnung unterscheiden dazu wir:

Zwei total geordnete Mengen ( A <=) und ( B [=) heißen ordnungsisomorph wenn es eine Bijektion f : A -> B gibt so dass für alle a b aus A gilt:
Aus a <= b folgt f ( a ) [= f ( b ).
Die Abbildung f heißt dann Ordungsisomorphismus (s.a. Isomorphismus ).

Nun kann man zeigen dass jede wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu (genau) einer natürlichen ist. Außerdem sind für eine wohlgeordnete Menge sie ist endlich; die umgekehrte Ordnung ist Wohlordnung; jede nichtleere Teilmenge hat ein größtes

Dies liefert die Grundlage für die der natürlichen Zahlen zu Ordinalzahlen die als wohlgeordnete Mengen so gewählt werden dass jede Mengen ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl ist. folgende Definition verbessert Cantors Ansatz und wurde von John von Neumann angegeben:

Eine Menge S heißt Ordinalzahl wenn S total geordnet bezüglich der Mengeninklusion ist und jedes Element von S auch Teilmenge von S ist.

Eine solche Menge S ist automatisch wohlgeordnet aufgrund des Fundierungssaxioms welches besagt: Jede nichtleere Menge S hat ein Element a das disjunkt zu S ist.

Die natürlichen Zahlen sind nach dieser Ordinalzahlen. Zum Beispiel ist 2 = {0 ein Element von 4 = {0 1 3} und gleichzeitig eine Teilmenge.

Eigenschaften

Man kann mittels transfiniter Induktion zeigen dass jede wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph genau einer Ordinalzahl ist.

Die Elemente einer Ordinalzahl sind selbst Hat man zwei Ordinalzahlen S und T dann ist S ein Element von T genau dann wenn S eine Teilmenge von T ist und es gilt dass entweder S ein Element von T' oder T ein Element von S oder S = T ist. Damit sind Ordinalzahlen total geordnet bezüglich der Elementbeziehung. Es gilt sogar mehr:

Jede Menge von Ordinalzahlen ist wohlgeordnet.

Dies verallgemeinert das Wohlordnungsprinzip dass jede Menge von natürlichen Zahlen ist und erlaubt die freie Anwendung der Induktion und der Beweismethode des " unendlichen Abstiegs " auf Ordinalzahlen.

Eine wichtige Feststellung ist dass jede S genau die Ordinalzahlen als Elemente hat kleiner sind als S . Durch diesen Satz wird die mengentheoretische einer Ordinalzahl vollständig durch kleinere Ordinalzahlen beschrieben. benutzt diese Tatsache um andere Aussagen zu wie z.B. dass jede Menge S von Ordinalzahlen ein Supremum hat nämlich die Vereinigung aller Elemente S welche selbst eine Ordinalzahl ist. Eine Folgerung ist der Satz dass die Klasse aller Ordinalzahlen keine Menge sondern eine Klasse ist. Der Beweis basiert auf dem Regularitätsaxiom dass keine Menge sich selbst als enthält. Wäre die Klasse aller Ordinalzahlen eine dann wäre sie selbst eine Ordinalzahl müsste also selbst enthalten. (Siehe auch das Burali-Forti-Paradoxon.)

Rechenoperationen

Addition

Um die Summe zweier Ordinalzahlen S und T zu definieren geht man so vor: benennt die Elemente von T so um dass S und T disjunkt sind und "schreibt S links neben T " d.h. man vereinigt S mit T und definiert die Ordnung so dass von S und T jeweils die vorige Ordnung gilt und Element von S kleiner ist als jedes Element von T . Auf diese Weise wird die neue wohlgeordnet und ist ordnungsisomorph zu einer eindeutig Ordinalzahl die man mit S + T bezeichnet. Diese Addition ist assoziativ und die Addition natürlicher Zahlen.

Die erste transfinite Ordinalzahl ist die Menge aller natürlichen Zahlen man bezeichnet sie ω. Veranschaulichen wir uns die Summe ω ω: Wir schreiben die zweite Kopie als < 1' < 2' < ...} dann wir

ω + ω = {0 < 1 2 < 3 < ... < 0' 1' < 2' < 3' < ...}

Diese Menge ist nicht ω denn ω ist die 0 die einzige Zahl Vorgänger und ω + ω hat zwei ohne Vorgänger (0 und 0'). Die Menge + ω sieht so aus:

{0 < 1 < 2 < 0' 1' < 2' < 3' < ...}

Und nach einem weiteren Umbenennen sieht aus wie ω. Wir haben also 3 ω = ω. Dagegen ist ω +

{0 < 1 < 2 < ... 0' < 1' < 2'}

ungleich ω denn 2' ist das Element von ω+3 aber ω hat kein Also ist die Addition nicht kommutativ . Man sollte nun erkennen können dass ω + 4 + ω = ω ω ist.

Multiplikation

Um zwei Ordinalzahlen S und T zu multiplizieren schreibt man T hin und ersetzt jedes Element von T durch eine andere Kopie von S . Das Ergebnis ist eine wohlgeordnete Menge isomorph zu genau einer Ordinalzahl ist die mit S · T bezeichnet. Auch diese Verknüpfung ist assoziativ verallgemeinert die Multiplikation der natürlichen Zahlen. (Dasselbe erreicht man indem man auf dem kartesischen Produkt S × T eine lexikographische Ordnung definiert: ( s1 t1 ) <= ( s2 t2 ) falls t1 < t2 oder ( t1 = t2 und s1 <= s2 ).)

Die Ordinalzahl ω·2 sieht so aus:

{0 0 < 1 0 < 2 0 < ... < 0 1 < 1 1 < 2 1 < ...}

Man erkennt dass ω·2 = ω ω ist. Dagegen sieht 2·ω so aus:

{0 0 < 1 0 < 0 1 < 1 1 < 0 2 < 1 2 < ...}

und nach Umbenennen sehen wir dass = ω ist. Also ist auch die von Ordinalzahlen nicht kommutativ.

Eines der Distributivgesetze gilt für Ordinalzahlen: R ·( S + T ) = R · S + R · T . Das kann man direkt aus den ablesen. Jedoch gilt das andere Distributivgesetz nicht denn z.B. ist (1+1)·ω = 2·ω = aber 1·ω + 1·ω = ω +

Das neutrale Element der Addition ist die 0 das Element der Multiplikation ist die 1. Keine außer 0 hat ein Negatives (ein additiv inverses Element ) also bilden die Ordinalzahlen mit der keine Gruppe und erst recht keinen Ring .

Potenzierung

Man kann fortfahren und die Potenz S ^ T von Ordinalzahlen S und T definieren und ihre Eigenschaften untersuchen was in diesem Artikel jedoch nicht tun da noch weitere Eigenschaften der Ordinalzahlen bekannt sein

Es gibt Ordinalzahlen die nicht mit endlichen Anzahl von Rechenoperationen (Addition Multiplikation Potenzierung) ω aus erreichbar sind. Die kleinste von nennt man ε 0 . Sie ist immer noch abzählbar aber es gibt auch überabzählbare Ordinalzahlen. kleinste überabzählbare Ordinalzahl ist die Menge aller Ordinalzahlen und wird mit ω 1 bezeichnet.

Topologische Eigenschaften

Die Ordinalzahlen lassen sich aufgrund ihrer Ordnung durch die Ordnungstopologie zu einem topologischen Raum machen. In dieser Topologie konvergiert die (0 1 2 ...) gegen ω und Folge (ω ω^ω ω^(ω^ω) ...) konvergiert gegen 0 . Ordinalzahlen ohne Vorgänger können stets als eines Netzes von kleineren Ordinalzahlen dargestellt werden heißen Grenz-Ordinalzahlen . Im allgemeinen sind sie jedoch nicht einer Folge kleiner Ordinalzahlen wie z.B. ω 1 .

Der topologische Raum ω 1 +1 wird in Büchern oft als Beispiel nicht abzählbaren Topologie genannt. Zum Beispiel gilt Raum ω 1 +1 dass das Element ω 1 im Abschluss der Teilmenge ω 1 liegt aber keine Folge in ω 1 gegen das Element ω 1 konvergiert.

Einige Grenz-Ordinalzahlen können verwendet werden um "Größe" von Mengen anzugeben. Man nennt sie Kardinalzahlen .



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