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Partialbruchzerlegung


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In der Mathematik ist die Partialbruchzerlegung eine bestimmte Darstellung von rationalen Funktionen <math>r(z)</math> als Summe von Brüchen der
<math>\frac{a}{(z-b)^n}</math>
mit Konstanten a und b .

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine rationale Funktion r mit n verschiedenen Polstellen der Ordnung m j läßt sich in der Form

<math>r(z) = p(z) + \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^{m_j} \frac{a_{j

schreiben wobei der Grad des Polynoms p der Differenz von Zähler - und Nennergrad von r entspricht.

Diese Darstellung heißt Partialbruchzerlegung .

Verwendung

Die Partialbruchzerlegung wird z.B. verwendet um Funktionen integrieren zu können.

Berechnung

Diese Zerlegung kann folgendermaßen bestimmt werden:

  • Mit Polynomdivision erhält man p .
  • Faktorisierung des Nenners liefert die Polstellen und Ordnung.
  • Die Konstanten a j k ergeben sich durch Koeffizientenvergleich nach Multiplikation Zerlegung mit dem Nennerpolynom.

Beispiel


<math>\frac {x^2}{(x-1)^2} = 1 + \frac

<math>\frac {2\;x-1}{(x-1)^2} = \frac {A}{x-1} + {B}{(x-1)^2} \quad | \cdot (x-1)^2</math>

<math>2\;x-1 = A (x-1) + B</math>

<math>A = 2</math>

<math>B = 1</math>

<math>\frac {x^2}{(x-1)^2} = 1 + \frac + \frac {1}{(x-1)^2}</math>



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