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Phasenraum


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Der Phasenraum stellt eine Möglichkeit dar Lösungen von graphisch darzustellen ohne die Lösungsfunktionen explizit bestimmen müssen die Darstellung heißt Phasenportrait oder Phasenraumportrait. der graphischen Darstellungen kann man bestimmte Eigenschaften Lösungen ablesen wie z.b. Stabilität und Gleichgewichtspunkte. Beispiel wäre die Entwicklung einer Populationen unter Nebenbedungungen( Räuber-Beute-Modell Lotka-Volterra-Modell):

Bezeichne die Anzahl der Räuber mit die der Beutetiere mit v(x) so erhält für die Entwicklung beider populationen mit der x:

 u'=u(a-bv) v'=v(-c+du)  

u' v' bezeichnen die Änderungsrate die a b c d sind Proportionalitätsfaktoren die aus der Überlegung ergeben das die Änderung Beutepopulation proportional sein muß zur aktuellen Population (z.B.:wg und antiproportional zu der der Räuber(Dezimierung der und der eigenen.

Das System läßt sich schwer explizit jedoch läßt sich das Verhalten von u(x) v(x) im phasenprotrait darstellen als u(v) oder d.h. man erhält qualitative Aussagen über die beider Populationen ohne berechnen zu müssen welchen u oder v abh. von x haben läßt sich ableiten ob die Populationen zusammenbrechen Grundsätzlich stabil bleiben; man erhält sozusagen die der Beutetiere in Abhängigkeit von der Anzahl Räuber und umgekehrt.

In der Physik werden Phasenraumportraits hauptsächlich um die Entwicklung von Systemen ( Oszillatoren Entropie von Vielteilchensystemen) darzustellen.´ Durch den Energiesatz (m/2)v^2+V(x) (m=Masse v=Geschwindigkeit V(x)=Potential am ort x) man mittels des Hamilton-Formalismus ein Differentialgleichungssystem der Form

 p'=f(p q) q'=f(p q)  

p=Impuls q=Ort welches sich wieder im darstellen läßt.



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