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Planck-Einheiten


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Die Planck-Einheiten markieren eine Grenze für die Gültigkeit bekannten Gesetze der Physik . Man muss davon ausgehen dass für kleiner als die Planck-Länge (ca. 10 -35 m) und Zeiten kürzer als die Planck-Zeit (ca. 10 -43 s) Raum und Zeit ihre uns vertrauten Eigenschaften als Kontinuum verlieren. Jedes Objekt das kleiner wäre die Planck-Länge hätte aufgrund der sog. Unschärferelation so viel Energie bzw. Masse dass es zu einem Schwarzen Loch kollabieren würde (s. u.). Die Suche einer entsprechenden Theorie der so genannten Quantengravitation gehört zu den größten Herausforderungen der Grundlagenforschung .

Die Planck-Einheiten bilden ein natürliches System Einheiten für Länge Zeit und Masse das aus den drei grundlegendsten Naturkonstanten herleitet der Gravitationskonstante G der Lichtgeschwindigkeit c und dem planckschen Wirkungsquantum h . Es ist durchaus angemessen und auf Gebiet der Quantengravitation auch üblich die Planck-Einheiten als die fundamentalen Naturkonstanten zu interpretieren und G c und h als die abgeleiteten.

Die Planck-Einheiten werden von Physikern gelegentlich scherzhaft „Einheiten Gottes“ genannt.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen und Zahlenwerte

Die Planck-Einheiten ergeben sich aus einer Dimensionsbetrachtung d. h. einer Suche nach einem Ausdruck von der Dimension einer Länge Zeit Masse der nur Produkte und Quotienten von Potenzen von G c und <math>\hbar</math> enthält wobei <math>2\pi \hbar h</math>:

Planck-Länge : <math>l_\mathrm{p} = \sqrt{\hbar G \over c^3} 1 6 \times 10^{-35}\ \mbox{m}</math>
Planck-Zeit : <math>t_\mathrm{p} = \sqrt{\hbar G \over c^5} 5 4 \times 10^{-44}\ \mbox{s}</math>
Planck-Masse : <math>m_\mathrm{p} = \sqrt{\hbar c \over G} 2 1 \times 10^{-8}\ \mbox{kg}</math>

Neben diesen drei Grundgrößen werden auch abgeleitete Größen verwendet:

Planck-Fläche : <math>A_\mathrm{p} = l_\mathrm{p}^2 = {\hbar G c^3} \approx 2 6 \times 10^{-70}\ \mbox{m}^2</math>
Planck-Energie : <math>E_\mathrm{p} = m_\mathrm{p} \cdot c^2 = c^5 \over G} \approx 2 0 \times \mbox{J} \approx 1 2 \times 10^{19}\ \mbox{GeV}</math>
Planck-Temperatur : <math>T_\mathrm{p} = {E_\mathrm{p} \over k} = \over k} \cdot \sqrt{\hbar c^5 \over G} 1 4 \times 10^{32}\ \mbox{K}</math>
Planck-Dichte : <math>\rho_\mathrm{p} = {m_\mathrm{p} \over l_\mathrm{p}^3} = \over \hbar G^2} \approx 5 1 \times \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}</math>

Dabei ist k die Boltzmann-Konstante . Die Planck-Fläche spielt insbesondere in Stringtheorien und bei Überlegungen zur Entropie Schwarzer Löcher in Zusammenhang mit dem Prinzip eine wichtige Rolle.

Planck-Einheiten und die Grenzen naturwissenschaftlicher Erkenntnis

Die Planck-Länge l P ist ca. 10 20 mal kleiner als der Durchmesser des Protons und damit weit jenseits einer direkten Zugänglichkeit. Wollte man derartig kleine Strukturen mit Teilchenbeschleuniger untersuchen so müsste die de Broglie-Wellenlänge verwendeten Teilchen vergleichbar mit l P sein bzw. ihre Energie vergleichbar mit E P . Die über E=mc 2 zugeordnete Masse wäre über 10 16 mal größer als die Masse des bekannten Teilchens des Top-Quarks . Ein entsprechender Beschleuniger hätte mindestens den unseres Sonnensystems.

Diese Überlegung markiert eine bedeutende Grenze die Experimentalphysik . Der einzige bekannte Prozess bei dem Energien aufgetreten sind ist der Urknall zur Zeit t <math>\approx</math> t P . Die Planck-Einheiten lassen sich daher als Indiz dafür werten dass eine Vereinigung von und Relativitätstheorie sowie ein erschöpfendes Verständnis des und damit des Universums und seiner Existenz sich jenseits der naturwissenschaftlicher Erkenntnis befinden könnten.

Die Planck-Einheiten als Grenze der Gültigkeit bekannten Physik

Wie oben bereits angedeutet führt die Anwendung der Gesetze der Quantenmechanik und der Allgemeinen Relativitätstheorie bei hinreichend kleinen räumlichen und zeitlichen zu Problemen wie die folgende Überlegung zeigt: sich ein Objekt oder Teilchen in einem mit dem Durchmesser x so hat es aufgrund der Unschärferelation Impuls p dessen Größenordnung sich über

<math>x p \approx \hbar</math>.

abschätzen lässt. Selbst für ein Teilchen Ruhemasse ist damit eine Energie E und daher auch eine Mindestmasse m verbunden wobei

<math>m\;c^2 = E = p c = c}{x}</math>.

Befindet sich die Masse m in einem Raumgebiet mit einem Radius als ihr Schwarzschildradius

<math>r = \frac{2 G m}{c^2}</math>

so wird sie zum Schwarzen Loch. ist durch die Wahl eines hinreichend kleinen x erreichbar denn mit einer Verkleinerung von x wächst p und damit auch m und r bis schließlich r ≈ x wird. Diese Situation entzieht sich jedoch Beschreibung durch die bekannte Physik. Man erhält Formel für die Planck-Länge und Planck-Masse indem r=x setzt und die beiden letzten Gleichungen x und m auflöst. Da es sich um eine Abschätzung handelt kann der Faktor 2 in Formel für r vernachlässigt werden.

Zum gleichen Konflikt führt auch die eines Vorganges der kürzer als die Planck-Zeit Die Planck-Zeit ist die Zeit die das benötigt um die Strecke einer Planck-Länge zurückzulegen. sich nichts schneller als das Licht bewegen müsste ein solcher Vorgang in einem Objekt das kleiner als die Planck-Länge wäre.

Die Vermutung dass die Gesetze der Physik im Bereich der Planck-Einheiten ihre Gültigkeit wird auch dadurch gestützt dass die Renormierungsprozesse in der Quantenfeldtheorie nur unter der Annahme wohldefiniert sind die Vorstellung von Raum und Zeit als nur bis zu einer gewissen mikroskopischen Grenze ist. Ein Versagen der Kontinuums-Theorie würde letztlich Zenonschen Paradoxien auf eine naturwissenschaftliche Basis stellen.

Geschichte

Max Planck einer der Mitbegründer der Quantentheorie entdeckte die letzte zur Definition der erforderliche Naturkonstante das nach ihm benannte Wirkungsquantum. erkannte die Möglichkeit damit ein universell gültiges von Einheiten zu definieren und erwähnte diese im Mai 1899 in seiner Publikation mit Titel „ Über irreversible Strahlungsvorgänge “ in Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften (Band 5 S. 479 1899) vor. dieser Zeit war die Quantenmechanik noch gar entdeckt. Erst im Dezember 1900 publizierte er seine Arbeit zur Theorie Strahlung eines Schwarzen Körpers in der die später nach ihm Konstante erstmals mit h bezeichnet wurde und für die er 1919 den Nobelpreis für Physik für das 1918 erhielt. Das folgende Zitat vermittelt einen von dem Stellenwert den Planck diesen Einheiten

...ihre Bedeutung für alle Zeiten und für auch außerirdische und außermenschliche Culturen nothwendig behalten welche daher als „natürliche Maßeinheiten“ bezeichnet werden



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