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Polarkoordinaten


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Inhaltsverzeichnis

Definition

In Koordinatensystemen mit Polarkoordinaten erfolgt die Angabe der Position von Punkten mittels des Abstandes von festgelegten Koordinatenursprung sowie durch einen oder mehrere Winkel Bezug zu einer ausgezeichneten Ebene und/oder zu ausgezeichneten Richtung.

Allgemeines

Die Darstellung in Polarkoordinaten erlaubt bei die Rotationssymmetrie oder Punktsymmetrie aufweisen eine erhebliche der Beschreibung. Z.B. genügt zur Festlegung einer auf der Erdoberfläche wenn es auf die über NN nicht ankommt die Angabe von lediglich Koordinaten ( Längengrad und Breitengrad ) da der Erdradius konstant ist.

Bei Polarkoordinaten stehen die Koordinatenlinien (Koordinatenachsen) wie bei kartesischen Koordinaten senkrecht aufeinander. Im Unterschied zu geradlinigen Koordinatensystemen sind die Koordinatenlinien bei Polarkoordinaten keine nicht ausschließlich) Geraden.

Da es sich bei Polarkoordinaten um Koordinaten handelt ist bei der Integration in Polarkoordinaten die Funktionaldeterminante anzuwenden.

Unterschiedliche Varianten

Ebene Polarkoordinaten (Kreiskoordinaten)

Die Kreiskoordinaten eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug zu einem Koordinatenursprung Punkt der Ebene) und einer Polarkoordinatenrichtung (ein Koordinatenursprung beginnender Strahl ) angegeben.

Die Länge der gedachten Verbindungslinie eines P zum Ursprung gibt die r genannte Abstandskoordinate; der gegen den Urzeigersinn Winkel φ zwischen der gedachten Verbindungslinen und der gibt die zweite Koordinate. Bei gegebenem Koordinatenursprung also der Punkt P durch r und φ eindeutig bestimmt.

Wenn man ein Kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x -Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt ergeben sich

x = r cos ( &phi ) und
y = r sin ( &phi )
als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen.

Für die Funktionaldeterminante in ebenen Polarkoordinaten man

<math>\frac{\partial(x y)}{\partial(r \varphi)}=\begin{vmatrix}
 \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi &  
\end{vmatrix}=r.</math>

Zylindrische Koordinaten (Zylinderkoordinaten)

Zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. dritte Koordinate im Allgemeinen h genannt beschreibt die Höhe eines Punktes (oder unter) der Ebene des Kreiskoordinatensystems.

Wenn man ein Kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung wie beim Kreiskoordinatensystem und eine dritte Achse ( z -Achse) senkrecht auf der Ebene errichtet dann sich

x = r cos ( &phi )
y = r sin ( &phi ) und
z = h
als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen. r ist jetzt nicht mehr der Abstand Punktes vom Koordinatenursprung sondern von der z -Achse.

Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten h hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante:

<math>\frac{\partial(x y z)}{\partial(r \varphi h)}=\begin{vmatrix}
 \cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \\ & r\cos\varphi & 0 \\ 0 & & 1  
\end{vmatrix}=r.</math>

Sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)

Ein Punkt P mit den kartesischen Koordinaten ( x y z ) läßt sich darstellen in den sphärischen ( r &theta &phi ). Wenn das kartesische Koordinatensystem wieder so wird wie im Fall der Zylinderkoordinaten so man die möglichen Transformationsgleichungen

<math>z=r\cos\theta</math>
<math>x=r\sin\theta\cos\varphi</math> und
<math>y=r\sin\theta\sin\varphi</math>.
Anschaulich:
z ist die Projektion des Ortsvektors <math>\vec p</math> von P auf die z -Achse
x ist die Projektion von <math>\vec r_0</math> die x -Achse und
y ist die Projektion von <math>\vec r_0</math> die y -Achse wobei
<math>\vec r_0</math> die Projektion von <math>\vec auf die x - y -Ebene ist.

<math>r (=|\vec p|)</math> ist der Abstand Punktes P vom Koordinatenursprung
&theta ist der Winkel zwischen <math>\vec p</math> der z -Achse und
&phi ist der Winkel zwischen <math>\vec r_0</math> der x -Achse.

In sphärischen Polarkoordinaten erhält man die

<math>\frac{\partial(x y z)}{\partial(r \theta \varphi)}=\begin{vmatrix}
 \sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\ & r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \\ \cos\theta & & 0  
\end{vmatrix}=r^2\sin\theta.</math>

Neben der hier gewählten Definition der Winkel sind auch andere Definitionen gebräuchlich. Die der Angabe von Punkten P auf der Erdoberfläche verwendeten Winkelkoordinaten sind z.B. der Winkel dem Strahl durch den Punkt P und der Äquatorialebene ( Breitengrad ) sowie zwischen dem Strahl und der Rotationsachse und Greenwich -Meridian aufgespannten Ebene ( Längengrad ).

Weitere Artikel zum Thema

Siehe auch: Koordinatensystem Koordinate geographische Koordinaten Kartesische Koordinaten Affine Koordinaten Kreis Zylinder Kugel



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