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Polynomdivision


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Die Polynomdivision ist ein mathematisches Verfahren zum Lösen von Gleichungen höheren Grades .

Angenommen es liege eine Gleichung vor linke Seite ein Polynom und deren rechte Seite Null ist:

<math>
P(x) = a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots{}+a_2x^2+a_1x^1+a_0 = 0. </math>

Sie kann nach dem Wurzelsatz von Vietá als Produkt von Linearfaktoren gedacht werden:

<math>
P(x) = a_{n}(x-x_n)(x-x_{n-1})\dots{}(x-x_2)(x-x_1) = 0 </math>

Wenn eine Lösung x n z.B. durch Intervallschachtelung gefunden wurde findet die Polynomdivision Anwendung um den Grad der Gleichung Eins zu senken.

Durchführung

  • Aus der Lösung x n wird der Linearfaktor ( x - x n ) gebildet.
  • Die Divisionsaufgabe
<math>
(a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots{}+a_2x^2+a_1x^1+a_0) : (x-x_n) = </math>
wird aufgestellt.
  • Ähnlich wie bei der schriftlichen Division im Wesentlichen nur die erste Ziffer wird muss hier darauf geachtet werden dass die höchste Potenz von x vollständig aufgelöst wird unabhängig davon was Anschluss folgt. Wegen
<math> a_{n} \cdot x^n : x = \cdot x^{(n-1)} </math>
beginnt das Ergebnis mit <math> a_{n} \cdot </math> also hat sich der Grad des um Eins erniedrigt. (In der Praxis wird bei der Nullstellensuche Beginn in einem Zwischenschritt die gesamte Gleichung <math> a_{n} </math> dividiert da diese Konstante Lösung nicht beeinflusst).
Der Quotient wird mit ( x - x n ) multipliziert und vom Dividenden abgezogen.
  • Es wird solange die jeweils höchste x -Potenz wie im vorigen Schritt eliminiert bis Grad des Restes kleiner ist als Eins diesem Fall).

Anwendungsbeispiel

Angenommen die Gleichung

x ³ + 5 x ² + 2 x - 8 = 0
ist zu lösen und durch Probieren wir eine erste Lösung x =1 gefunden. Wir bilden das Binom ( x -1) und schreiben: ( x ³ + 5 x ² + 2 x - 8) ÷ ( x - 1) =

Da x ³ : x = x ² ergibt entsteht hinter dem Gleichheitszeichen nur das quadratische Glied 1 x ². Damit wird wie beim Schriftlichen Teilen Klammer ( x -1) multipliziert und das entstehende Zwischenergebnis x ³- x ² von der Ursprungsaufgabe abgezogen. Mit dem wird genauso verfahren:

 ( x ³ +5 x ² +2 x  -8)÷( x -1)=  x ² +6 x  +8 -( x ³ -  x ²) ---------- 0 x ³ +6 x ² +2 x  -8 - (6 x ² -6 x ) ---------- 8 x  -8 - (8 x  -8) ------- 0  

Die Division ging glatt auf (das sie wenn wir eine Nullstelle herausteilen). Für anderen beiden Lösungen ist jetzt nur noch Quadratische Gleichung

x ² +6 x +8 = 0
z.B. durch Quadratische Ergänzung zu lösen.

siehe auch: Partialbruchzerlegung



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