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Potenz (Mathematik)


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Potenzieren ist eine mathematische Rechenoperation die sich zur Multiplikation analog wie diese zur Addition verhält. Es handelt sich also um "Kurzschreibweise" für wiederholtes Multiplizieren:

<math>

 \begin{matrix} \underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a \end{matrix} = \prod_{i=1}^{b}a = a^b  
</math>

a nennt man die Basis (Grundzahl) und b den Exponenten (Hochzahl). Das Ergebnis ist die Potenz . a ist eine reelle und b ist eine ganze Zahl. Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich (z.B. ASCII-Text) verwendet man oft a^b .

Da das Kommutativgesetz beim Potenzieren nicht gilt (2³ = = 8 3² = 3×3 = 9) es zwei Umkehrrechnungen: das Wurzelziehen um Gleichung der Bauart x a =b zu lösen und das Logarithmieren für Gleichungen a x =b .

Es gibt auch Erweiterungen des Potenzierens nichtganzzahlige Exponenten siehe dazu den Abschnitt nicht ganzzahlige Exponenten .

Inhaltsverzeichnis

Rechenregeln

Sind a und b reelle Zahlen und n r und s natürliche Zahlen gilt:

  • <math>\left(a\cdot{}b\right)^n = a^n\cdot{}b^n</math>
  • <math>\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad b\neq 0</math>
  • <math>a^r \cdot{} a^s = a^{r+s}</math>
  • <math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}</math> falls a ≠0
  • <math>\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} \quad a\neq 0</math>
  • <math>\left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}</math>
  • <math>a^0 = 1</math>

Der letzte Punkt folgt aus

<math>a^0 = a^{r-r} = \frac{a^r}{a^r} =

Da man nicht durch Null dividieren darf hat 0 0 keinen durch die Potenzgesetze definierten Wert. definiert man 0 0 = 1 es gibt aber auch in denen andere Definitionen sinnvoller sind.

nicht ganzzahlige Exponenten

Sind n und m ganze Zahlen ( n ≠ 0) sowie a eine positive reelle Zahl dann definiert

<math>a^{\frac{m}{n}} := \sqrt[n]{a^m}</math>

Ausdrücke wie <math>\sqrt[6]{(-27)^2}</math> sind zwar auch jedoch ist <math>(-27)^{2/6}</math> undefiniert da man <math>2/6</math> kann zu <math>1/3</math> aber <math>\sqrt[6]{(-27)^2} = 3</math> <math>\sqrt[3]{(-27)^1} = -3</math> ist.

siehe auch Wurzel (Mathematik)

Potenzen positiver reeller Zahlen mit beliebigen Exponenten sind so definiert:

<math>a^b := \exp(b \cdot \ln a)</math>

Dabei ist <math>\exp</math> die Exponentialfunktion und <math>\ln</math> der natürliche Logarithmus .

Potenzen komplexer Zahlen

Ist a + bi = r ·e φ mit reellen Zahlen a b r ( r >0) φ dann gilt

<math>
 (a+b\;i)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = \cdot e^{i\; n\varphi}  
</math>

Das Wurzelziehen ist bei komplexen Zahlen eindeutig es ergeben sich n verschiedene n -te Wurzeln einer komplexen Zahl a + bi ≠ 0:

<math>
 (a+b\;i)^{1/n} = (r \cdot e^{i\varphi})^{1/n} = r^{1/n} \cdot e^{i\; (\varphi + 2\pi k)/n} |\ k=1 ... n \right\}  
</math>

Beliebige reelle oder komplexe Potenzen beliebiger Zahlen lassen sich zwar durch die Formel \ln a)</math> definieren aber da der komplexe unendlich viele Werte annimmt hat man unendlich verschiedene Potenzen.

besondere Potenzen

Im alltäglichen Leben werden Potenzen mit Basis 10 (1 10 100 1000 ...) am häufigsten verwendet. Sie bilden die Grundlage Zahlensystems dem Dezimalsystem .

Zu digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Binärsystem mit der Basis 2 verwendet. Die digitaler Speichersysteme sind Potenzen zur Basis zwei. Kibibyte KiB (noch oft veraltend Kilobyte KB sind 2 10 = 1024 Byte .

Für die Mathematik sind besonders Potenzen der Basis e der Eulerschen Zahl (~2.71828) wichtig.

siehe auch



Bücher zum Thema Potenz (Mathematik)

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