Produkttopologie

In der Topologie kann das kartesische Produkt von topologischen Räumen auf folgende Weise zu einem topologischen gemacht werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition 1.1 Explizite Beschreibung 1.2 Universelle Eigenschaft 2 Beispiele 3 Eigenschaften

Definition

Sei I eine (möglicherweise unendliche) Indexmenge und sei X _i ein topologischer Raum für jedes i in I . Sei X = Π X _i das kartesische Produkt der Mengen X _i . Für jedes i in I haben wir eine kanonische Projektion p _i : X -> X _i . Die Produkttopologie auf X ist definiert als die gröbste Topologie (die mit den wenigsten offenen Mengen) der noch alle p _i stetig sind. Man nennt X mit dieser Topologie den Produktraum der X _i .

Explizite Beschreibung

Man kann die Topologie auf X explizit beschreiben. Eine Teilmenge von X ist offen genau dann wenn sie Vereinigung von (möglicherweise unendlich vielen) Durchschnitten je vieler Mengen der Form p _i ^-1 ( O ) ist wobei i in I liegt und O eine offene Teilmenge von X _i ist. Daraus folgt dass im allgemeinen alle kartesischen Produkte offener Teilmengen offen sein (ist I endlich dann ist das jedoch immer

Universelle Eigenschaft

Der Produktraum X zusammen mit den kanonischen Projektionen p _i wird charakterisiert durch die folgende universelle Ist Y ein topologischer Raum und für jedes i in I ist f _i : Y -> X _i stetig dann gibt es genau eine stetige Funktion f : Y -> so dass p _i o f = f _i für alle i in I .

Beispiele

Die Produkttopologie auf dem n -fachen kartesischen Produkts von R ist die gewöhnliche euklidische Topologie des R ⁿ .

Die Cantor-Menge ist homöomorph zum Produktraum von abzählbar vielen Kopien des diskreten Raums {0

Der Raum der irrationalen Zahlen ist homöomorph zum Produkt abzählbar vieler der natürlichen Zahlen mit der diskreten Topologie.

Der Ring Z _p der ganzen p-adischen Zahlen wird mit der Produkttopologie der diskreten Z /p ⁿ Z versehen und ist dann kompakt. Diese wird auch erzeugt vom p-adischen Betrag auf Z _p .

Eigenschaften

Die Produkttopologie heißt auch Topologie der punktweisen Konvergenz aufgrund der folgenden Eigenschaft: Eine Folge in X konvergiert genau dann wenn alle Projektionen die X _i konvergieren. Insbesondere ist für den Raum R ^I aller Funktionen von I nach R die Konvergenz in der Produkttopologie gleichbedeutend der punktweisen Konvergenz.

Um zu prüfen ob eine gegebene f : Y -> X stetig ist kann man das folgende benutzen: f ist stetig genau dann wenn alle p _i o f stetig sind. Die Überprüfung ob eine g : X -> Z stetig ist ist meist schwieriger; man dann irgendwie die Stetigkeit der p _i auszunutzen.

Ein wichtiger Satz über die Produkttopologie der Satz von Tychonoff : Jedes Produkt kompakter Räume ist kompakt. Dies ist leicht zeigen für endliche Produkte aber die Aussage überraschenderweise auch wahr für unendliche Produkte zu Beweis man dann aber das Auswahlaxiom benötigt.

Wesentliche Teile der Theorie der Produkttopologie von Andrey Tychonoff entwickelt.

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