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Pythagoräisches Tripel


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Ein pythagoräisches Tripel ist eine Gruppe von drei ganzen Zahlen für die die Gleichung des Pythagoras gilt:

<math>a^2+b^2 = c^2\quad mit\quad a b c\in\mathbb{Z}</math>

Das einfachste pythagoräische Zahlentripel ist (3 5) aber auch alle Vielfachen davon (6 10) (9 12 15) ... sind pythagoräische

Mit pythagoräischen Tripeln befasst sich die Zahlentheorie . Schon der griechische Mathematiker Diophant hat sie untersucht.

Primitive pythagoräische Tripel

Ein primitives pythagoräisches Tripel ist ein pythagoräisches Tripel bei dem drei Zahlen teilerfremd sind. Primitive pythagoräische Tripel immer zwei ungerade Zahlen und eine gerade. den drei binomischen Formeln lässt sich leicht zeigen dass man viele primitive pythagoräische Tripel erzeugen kann wenn irgendein Paar von teilerfremden Zahlen m und n wählt und daraus a = m² - n² b = 2·m·n und c = m² + n² bestimmt:

Beispiele:

m="2"; n="1" => a=3 b=4 c=5  
m="3"; n="1" => a=8 b=6 c=10 Vielfaches von oben
m="3"; n="2" => a=5 b=12 c=13  
m="4"; n="1" => a=15 b=8 c=17  
m="4"; n="3" => a=7 b=24 c=25  
m="5"; n="2" => a=21 b=20 c=29  
m="6"; n="1" => a=35 b=12 c=37  

Sind m und n beide ungerade kann sich kein primitives Tripel ergeben da dann a b und c gerade sind.

Fermat'sche Tripel

Die pythagoräischen Tripel sind eine Besonderheit Quadratzahlen : Der Große Fermatsche Satz besagt dass es keinen anderen ganzzahligen Exponenten n gibt für den mit den ganzen a b und c gilt:

<math>a^n+b^n = c^n\quad mit\quad a b c

Solche Zahlen nennt man auch Fermat'sche Tripel . Nach dem Theorem existieren also für n>2 keine solchen Tripel.

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