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Quadratische Funktion


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Quadratische Funktionen auch Parabeln genannt sind Funktionen einer Variablen in Funktionsterm als höchster Exponent ein Quadrat vorkommt. handelt sich also um spezielle Polynome .

Die einfachste Parabel hat die Gleichung f(x) = x 2 . Man nennt sie auch die Normalparabel . Allgemein lautet die Gleichung für Quadratische f(x) = a x 2 + b x + c wobei die Werte von a b und c das Aussehen der Quadratischen Funktion beeinflussen.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften und Begriffe zur Normalparabel


Normalparabel
Die Normalparabel ist die einfachste der Funktionen. Im Koordinatenursprung (0|0) hat die Normalparabel so genannten Scheitel . Hier der tiefste Punkt auf der und auch derjenige in dem die Kurve meisten gekrümmt ist.

Die Normalparabel ist wie jede andere Funktion Achsensysmmetrisch. Bei der Normalparabel ist die die y-Achse.

Definitionsbereich: D = R

Wertebereich: W = R + 0

Lage und Aussehen der allgemeinen Quadratischen

In der Gleichung f(x) = a x 2 + b x + c für die allgemeine quadratische Funktion. Die der Parameter a b und c bestimmen teilweise direkt das Aussehen und Ort der quadratischen Funktion. Ist a = 1 b = 0 und c = 0 so erhält man wieder eine Normalparabel.

Parameter a
Wie der Wert von a das verändert kann man am besten erkennen wenn b = 0 und c = 0 ist. Man hat dann eine Normalparabel einem Faktor vor dem x 2 .

a > 0 ... der Graph ist nach oben

a < 0 ... der Graph ist nach unten

|a| > 1 ... der Graph ist gestreckt d.h. die Länge gezogen wodurch er schmäler erscheint.

|a| < 1 ... der Graph ist gestaucht d.h. die zusammengedrückt wodurch er breiter erscheint.

Für a = -1 ist der Graph im Vergleich zur einfach an der x-Achse gespiegelt.

Parameter b
Der Wert des Parameters b hat allem Auswirkungen auf die seitliche Verschiedung des Allerdings bewirkt f(x) = x 2 + 1*x und f(x) = x 2 + 2*x gleichzeitig auch eine Verschiebung nach unten Bild).

Eine Verschiebung des Graphen um eine nach rechts (im Vergleich zur Normalparabel) ergibt dagegen bei f(x) = (x-1) 2 = x 2 - 2*x +1 .

Parameter c
Eine Veränderung des Parameters c bewirkt in y-Richtung. Wird c um 1 erhöht wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird c um 1 verringert wird der Graph dagegen um eine nach unten verschoben.

Scheitelbestimmung

Da der Scheitel maßgeblich für die des Parabelgraphen ist und immer ein Minimum Maximum (hängt von a ab) des Funktionswertes ist stellt die Bestimmung der Scheitelkoordinaten eine der wichtigsten Aufgaben

Die Korrdinaten des Scheitels lassen sich auslesen wenn der Funktionsterm so umgeformt wird er so aussieht:

<math>f(x) = a \cdot \left( x-x_s \right)^2 y_s</math>

Der Scheitel hat dann die Korrdinaten s |y s )

Beispiel: Bestimmung des Scheitels aus der Gleichung allgemeinen Parabel
f(x) = 2 x 2 + 4x + 5
<math>y = 2 \cdot x^2 + 4 x + 5 </math> Die ursprüngliche Funktionsgleichung.
<math>y = 2 \cdot \left( x^2 + \cdot x \right) + 5</math> Der Faktor a vor dem x 2 wurde ausgeklammert wobei der Summand +5 bleibt.
<math>y = 2 \cdot \left( x^2 + \cdot x + 1 - 1 \right) 5</math> Es wird eine quadratische Ergänzung zu x 2 + 2x durchgeführt
<math>y = 2 \cdot \left( \left( x 1 \right) ^2 - 1 \right) + Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht aus einem Teil des Terms ein Quadrat zu ziehen.
<math>y = 2 \cdot \left( x + \right) ^2 - 2 + 5</math> Nun wurde noch die Klammer mit dem 2 wieder aufgelöst um den Term zu vereinfachen.
<math>y = 2 \cdot \left( x + \right) ^2 + 3</math> In der Endform lässt sich nun der S( -1 | 3 ) ablesen

Quadratische Funktion als Kegelschnitt

Jede quadratische Funktion (Parabel) lässt sich als Schnitt einer Ebene mit einem Kegel Genaueres dazu unter Kegelschnitt .

Brennpunkt einer quadratischen Funktion

Eine Besonderheit bei quadratischen Funktionen ist Vorhandensein eines Brennpunktes im Inneren. Dies kann genutzt werden um mit Sonnenenergie und einem Spiegel möglichst hohe Temperaturen zu erzeugen. Genaueres Parabel und Parabolspiegel .




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