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Quadratische Gleichung


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Unter einer Quadratischen Gleichung versteht man eine mathematische Gleichung mit einer Unbekannten (im Folgenden mit x bezeichnet) die nur positive ganzzahlige Exponenten hat und deren höchster Exponent 2 ist (die also aus Polynomen des Grades 2 aufgebaut ist).

Ein Beispiel ist

<math> -4 \cdot x^2 + 12 x + 30 = -10 </math>
Eine übliche Darstellung (Normalform) bringt alle (oder Glieder) der Gleichung auf eine Seite sie nach fallendem Exponenten und dividiert durch Koeffizienten des quadratischen Terms. Folgende Gleichung ist äquivalent zur Obigen:
<math> x^2 - 3 \cdot x 10 = 0 </math>
Man spricht vom quadratischen Glied (x²) vom linearen Glied (-3·x) und vom absoluten Glied (-10).

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet

x ² + p · x + q = 0
mit reellen oder komplexen Zahlen p und q .

Inhaltsverzeichnis

Wurzeln (Lösungen) der quadratischen Gleichung

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jede quadratische Gleichung (mit reellen komplexen Koeffizienten) zwei Wurzeln auch Lösungen genannt. Lösungen wenn sie für x in die Gleichung eingesetzt werden erfüllen Gleichung. Die Wurzeln sind im allgemeinen komplexe Zahlen und nicht notwendigerweise reelle Zahlen . Wenn man sich auf reelle Wurzeln sind manche quadratischen Gleichungen somit nicht auflösbar. gibt es auch den Fall dass beide gleich sind; man spricht dann von einer Wurzel. Sind die Koeffizienten reelle Zahlen dann entweder beide Wurzeln reell oder beide nicht

Lösungsformeln

Zum Finden von Wurzeln einer quadratischen kann man die Quadratische Ergänzung benutzen.

Daneben ist die pq-Formel verbreitet (auch kleine Lösungsformel genannt) sie wird im Artikel Quadratische Ergänzung hergeleitet.

Wenn die Gleichung in Normalform als

<math> x^2 + p \cdot x q = 0 </math>
geschrieben ist dann sind die Wurzeln
<math> x_1 = - \frac{p}{2} + \frac{p^2}{4} - q } </math>
und
<math> x_2 = - \frac{p}{2} - \frac{p^2}{4} - q } </math>
gegeben.

Allgemein:

<math> x^2 + p \cdot x q = 0 </math>

<math> <=> x_{1 2} = - \frac{p^2}{4} - q } </math>

Im obigen Beispiel

<math> x^2 - 3 \cdot x 10 = 0 </math>
sind
<math> x_1 = - (-3/2) + (3^2/4) + 10 } = 5 </math>
und
<math> x_2 = - (-3/2) - (3^2/4) + 10 } = -2 </math>

Mit diesen Wurzeln kann man die Gleichung auch faktorisieren :

<math> x^2 - 3 \cdot x 10 = ( x - 5 ) ( x + 2 ) </math>

Eine allgemeine quadratische Gleichung

<math> ax^2+bx+c=0 \quad a\neq 0</math>
hat die Lösungen
<math> x_{1 2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. </math>
(Große Lösungsformel auch abc-Formel genannt unter Schülern auch als "Mitternachtsformel"

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen (die D ) bestimmt für eine Gleichung mit reellen wie viele reelle Lösungen die Gleichung hat.

  • D > 0 dann gibt es 2 Lösungen
  • D = 0 dann gibt es 1 Doppellösung
  • D < 0 dann gibt es keine Lösung.

Aussagen über die Wurzeln

  • Satzgruppe von Vietá
    • Das absolute Glied ist gleich dem Produkt der beiden Wurzeln.
    • Das lineare Glied ist gleich der Summe der beiden Wurzeln mit verkehrtem Vorzeichen.
    • Sind x 1 und x 2 die Wurzeln der Gleichung dann gilt 1 )(x-x 2 )=0
  • Ist das absolute Glied positiv so haben Wurzeln gleiches Vorzeichen sonst verschiedenes Vorzeichen:
    • Ist das lineare Glied negativ sind beide positiv;
    • ist dagegen das lineare Glied positiv sind Wurzeln negativ.
  • Ist das lineare Glied mit einem Minuszeichen so hat die betragsmäßig größere Wurzel ein positives Vorzeichen (und
  • Ist das absolute Glied größer als das der Hälfte des linearen Gliedes so hat Gleichung keine reellen Wurzeln (in dem Fall die Diskriminante D negativ).
  • Eine quadratische Gleichung hat genau dann zwei Wurzeln wenn das absolute Glied ganzzahlig ist sich als Produkt zweier Faktoren darstellen lässt Summe unter Berücksichtigung der Vorzeichen das lineare ergibt.

Beispiele

x ² + 12· x + 20 =0 Beide Wurzeln sind negativ: -2 und
x ² - 12· x + 35 =0 Beide Wurzeln sind positiv: +7 und
x ² + 12· x + 37 =0 Es gibt keine reellen Wurzeln weil Quadrat der Hälfte von 12 36 ist also kleiner als 37 .
x ² + 2· x - 35 =0 Die Wurzeln haben unterschiedliches Vorzeichen: -7 +5

Verallgemeinerung ( abstrakte Algebra )

Allgemein nennt man eine Gleichung der

x ² + p · x + q = 0
mit Elementen p q eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung . In einem Körper und bestimmten Ringen faktorielle Ringe ) hat sie höchstens zwei Lösungen in Ringen kann sie mehr als zwei haben. Lösungen in dem betrachteten Ring oder Körper dann erhält man sie ebenfalls mit der wobei man allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der berücksichtigen muss.

Z.B. hat die quadratische Gleichung

x ² - 1 = 0
im Restklassenring Z /8 Z die vier Lösungen 1 3 5

Weblinks



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