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Quadratwurzel


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Unter der Quadratwurzel einer nicht-negativen Zahl x aus dem Körper der reellen Zahlen versteht man in der Mathematik diejenige postive Zahl r deren Quadrat r 2 = r * r gleich x ist. Sie ist also ein Spezialfall allgemeinen Wurzelfunktion . Sie wird dargestellt durch das Wurzelsymbol lässt sich als Potenz schreiben:
<math>\sqrt{x} \quad = \quad x^{\frac{1}{2}}</math>

Das Symbol für die Quadratwurzel wurde zum erstenmal des 16. Jahrhunderts benutzt. Es wird vermutet dass das eine modifizierte Form des kleinen r ist das als Abkürzung für das Wort "radix" (Wurzel) steht.

Im englischen wird die Quadratwurzel als root" bezeichnet weshalb in vielen Programmiersprachen die Bezeichnung "sqrt" (oder "sqr") für Wurzelfunktion verwendet wird.

Wurzeln reeller Zahlen

Nach obiger Definition ist die Quadratwurzel Funktion die die Menge der nicht-negativen reellen auf eine ebensolche Menge bijektiv abbildet. Man beachte dass das Weglassen Zusatzes "diejenige positve Zahl" in den Fällen \ne 0</math> zu keiner Funktion führen würde beispielsweise (-3) 2 = 9 = 3 2 und damit die Wurzel aus 9 eindeutig definiert wäre.

Der unter dem Wurzelzeichen stehende Term oftmals als Radikant bezeichnet.

Eine über dem Wurzelzeichen stehende ganze gibt höhere Wurzeln an z.B. eine 5 fünfte Wurzel aus x. Fehlt sie wird 2 angenommen. Auch hierfür kann eine iterative Näherungslösung (s.u.) angegeben werden.

Die Taylor-Reihen Entwicklung von <math>\sqrt{x}</math> kann mit Hilfe binomischen Lehrsatzes gefunden werden. Die Entwicklung konvergiert für | x | < 1 punktweise gegen den Funktionswert Wurzelfunktion.

<math>\sqrt{x+1}=1 +
\sum_{n=1}^\infty { (-1)^{n+1} (2n-2)! \over n! (n-1)! \; 2^{2n-1} }x^n</math>

<math> = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots</math>

Wurzeln komplexer Zahlen

Die Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl ist zwei deutig weil es sich um die zwei te Wurzel handelt:

<math>
 \sqrt{z} = \sqrt{|z| e^{i\left(\mbox{arg}(Z)+n\cdot 2\pi\right)}} = e^{i\left( \mbox{arg}(z)/2+n\cdot \pi\right)}  
</math> Der Betrag der Wurzel ist Wurzel aus dem Betrag. Das Argument das der Winkel in der komplexen Zahlenebene (sein ist das Verhältnis von Imaginär- zu Realteil) durchs Quadratwurzelziehen halbiert und durch eine um gegenüberliegende zweite Lösung ergänzt.

Siehe auch: Schriftliches Wurzelziehen Babylonisches Wurzelziehen



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