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Reelle Zahlen



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Zahlengerade

Reelle Zahlen sind eine Erweiterung der rationalen Zahlen um Zahlen denen man sich mit Zahlen beliebig annähern kann. Die Menge der Zahlen steht anschaulich in einer umkehrbar eindeutigen (einer Bijektion ) mit den Punkten auf der Zahlengeraden.

Die reellen Zahlen die nicht rational nennt man irrationale Zahlen . Zum Beispiel ist √2 eine irrationale weil sie nicht rational ist aber man ihr beliebig annähern kann zum Beispiel mit Heron-Verfahren (nach Heron von Alexandria )

<math>x_1 = 1 x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n +
oder mit den endlichen Dezimalbrüchen
1 1 4 1 41 1 414 4142 1 41421 1 414213 1 4142135

Für die Menge der reellen Zahlen das Symbol R (stark betont dargestellt) verwendet. Weil dies nicht darstellbar ist hat sich das Symbol eingebürgert. Der Name "reelle Zahlen" wurde eingeführt sie von imaginären Zahlen zu unterscheiden.

Die reellen Zahlen und Funktionen von R nach R sind der Untersuchungsgegenstand der reellen Analysis .

Einteilung der reellen Zahlen

Der Bereich der reellen Zahlen besteht aus den rationalen Zahlen (ganze Zahlen wie 0 1 und Bruchzahlen wie 3/4 und und den irrationalen Zahlen (z. B. π (pi) und √2 ). Dabei ist die Menge der rationalen abzählbar (Cantorsches Diagonalverfahren) und die Menge der Zahlen überabzählbar.

Die Menge der reellen Zahlen lässt auch zerlegen in die Menge der algebraischen (die Lösungen algebraischer Gleichungen) und die Menge transzendenten Zahlen (die übrigen). Dabei ist jede rationale auch algebraisch. Die Menge der algebraischen Zahlen immer noch abzählbar. Die Menge der transzendenten ist ueberabzählbar. Die Menge der reellen Zahlen aus dieser Sicht betrachtet also sozusagen fast aus transzendenten Zahlen.

Konstruktion von R aus Q

Die Menge der reellen Zahlen wird als Vervollständigung der rationalen Zahlen definiert. Das heißt reelle Zahlen sind Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy - Folgen . Dabei sind zwei Cauchy-Folgen äquivalent wenn (punktweise) Differenz eine Nullfolge bildet. Wie man leicht nachprüft ist Relation tatsächlich reflexiv transitiv und symmetrisch .

Die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert das heißt unabhängig von der Auswahl Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die Zahlen einen Körper . Ebenfalls durch die rationalen Zahlen wird totale Ordnung induziert. Insgesamt sind die reellen Zahlen ein geordneter Körper .

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