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Ringtheorie



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Ring
berührt die Spezialgebiete
Mathematik
Abstrakte Algebra
Gruppentheorie
Zahlentheorie
ist Spezialfall von
additive Abelsche Gruppe
multiplikative Halbgruppe
Modul
umfasst als Spezialfälle
kommutativer Ring (Axiom K)
unitärer Ring (N)
Schiefkörper (NI)
Körper (KNI)
nullteilerfreier Ring (0)
Integritätsbereich (0K)
ganze Zahlen Z
Hauptidealring [?]
Polynomringe
Restklassenringe

Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra die sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. Ein Ring ist eine algebraische Struktur in der ähnlich wie in den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> Addition und Multiplikation definiert sind und eine allgemeine Subtraktion als Umkehr der Addition möglich ist.

Definition (Ring)


Formal definiert ist ein Ring eine Menge <math>\mathcal{R}</math> mit zwei darauf definierten zweistelligen Verknüpfungen bezeichnet als Addition (<math>+</math>) und Multiplikation (<math>\cdot</math>). Bezüglich der Addition ist <math>\mathcal{R}</math> abelsche Gruppe deren neutrales Element 0 genannt wird. Die Multiplikation ist assoziativ . Addition und Multiplikation sind durch das Distributivgesetz verknüpft das heißt:

Für alle Elemente <math>a b c</math> der Menge <math>\mathcal{R}</math> gilt:

<math>
 a \cdot (b + c) = \cdot b + a \cdot c  
</math>
<math> (a + b) \cdot c a \cdot c + b \cdot c

Die allgemeine Durchführbarkeit der Subtraktion ergibt aus den Gruppenaxiomen der Addition.

Eigenschaften

Jeder Ring R ist ein Modul über sich selbst (mit sich selbst zugrundeliegendem Ring). In diesem Fall sind die im Ring R gerade die Untermoduln des Moduls R .

Arten von Ringen

Ist die Multiplikation kommutativ spricht man von einem kommutativen Ring .

Gibt es bezüglich der Multiplikation ein Element so wird dies normalerweise als 1 man hat dann einen Ring mit 1 oder unitären Ring .

Ist <math>\mathcal{R}</math> ein Ring mit <math>1\neq und gibt es zudem für alle <math>a\in\mathcal{R}\setminus\{0\}</math> multiplikatives Inverses so heißt <math>\mathcal{R}</math> Schiefkörper ist der Schiefkörper <math>\mathcal{R}</math> zudem noch nennt man ihn einen Körper .

Gibt es in <math>\mathcal{R}</math> keine von verschiedenen Elemente <math>a b</math> so dass <math>a\cdot = 0</math> dann heißt <math>\mathcal{R}</math> nullteilerfrei .

Ist <math>\mathcal{R}</math> ein nullteilerfreier kommutativer Ring <math>1\neq 0</math> dann nennt man <math>\mathcal{R}</math> Integritätsring .


siehe auch Hierarchie mathematischer Strukturen



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