Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMittwoch, 13. November 2019 

Satz von Lindemann-Weierstrass


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.

Inhaltsverzeichnis

Überblick

Der Satz von Lindemann-Weierstrass ist ein zahlentheoretisches Ergebnis über die Nichtexistenz von Nullstellen gewissen Exponentialpolynomen. Er ist benannt nach den Mathematikern Carl Louis Ferdinand von Lindemann und Karl Weierstrass . In exakter Form lautet er:


Theorem Ist α 1 ... α n eine Folge unterschiedlicher algebraischer Zahlen und 1 ... β n eine Folge beliebiger algebraischer Zahlen wobei alle β k = 0 sind dann gilt:

<math>\beta_{1}e^{\alpha_{1}} + \dots + \beta_{n}e^{\alpha_{n}} \ne 0</math>

Diesen sehr allgemeinen Satz bewies Carl Louis Ferdinand von Lindemann um die deutlich schwächeren Resultate der Transzendenz von e und π zu zeigen.

Folgerungen

Diese Ergebnisse folgen tatsächlich direkt aus obigen Theorem:

Wäre e eine algebraische Zahl so existierten β 0 ... β n so dass

<math>\beta_{n}e^{n} + \dots + \beta_{1}e^{\alpha_{1}} + = 0\; </math>

was ein offensichtlicher Widerspruch zum obigen wäre.

Um die Transzendenz von π zu zeigen gehen wir auch hier davon aus dass π eine algebraische Zahl sei. Weil die der algebraischen Zahlen einen Körper bilden würde folgen dass auch πi 2πi algebraische sind (für i siehe imaginäre Einheit ).
Wenn wir nun β 1 = β 2 und α 1 = πi α 2 = 2πi wählen erhalten wir mit Satz von Lindemann-Weierstrass den Widerspruch

<math>0 \ne e^{\pi i} + e^{2\pi = -1 + 1 = 0</math>

und dies zeigt dass unsere Annahme war also dass π transzendent sein muss.

Kurze Zeit nach dem Beweis des Satzes von Lindemann-Weierstrass legte David Hilbert einen deutlich vereinfachten Beweis für die der Transzendenz der Zahlen e und π vor aus dem sich wiederum auch allgemeine Satz folgern läßt. Dieser Beweis findet unter den Weblinks .

Für allgemeinere Informationen siehe auch

Weblinks



Bücher zum Thema Satz von Lindemann-Weierstrass

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Satz_von_Lindemann-Weierstrass.html">Satz von Lindemann-Weierstrass </a>