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Satz von Stokes


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Der Satz von Stokes ist ein Ergebnis aus der Differentialgeometrie . In seiner mächtigsten Form handelt es um einen Satz über die Integration von der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verallgemeinert. Häufig werden aber speziellere Varianten

Der Satz ist benannt nach Sir George Gabriel Stokes ( 1819 - 1903 ).

Formulierung des Satzes

Sei M eine orientierte n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abschnittsweise glattem Rand ∂M mit induzierter Orientierung.

Sei ferner ω eine stetig differenzierbare Differentialform vom Grad n-1 .

Dann gilt

<math> \int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} </math>

wobei d die Cartan-Ableitung bezeichnet.

Spezialfälle

Mehrere Spezialfälle des Satzes von Stokes in der klassischen Vektoranalysis von Bedeutung.

Ist M eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen euklidischen Raumes <math>\mathbb{R}^3</math> so kann man den Satz einer Aussage über die Rotation eines Vektorfeldes F umschreiben:

<math> \int_{M} (\operatorname{rot}\;\mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A} = M} f dr </math>

Oft wird diese spezielle Version schon Satz von Stokes bezeichnet besonders in der Physik und den Ingenieurswissenschaften. Andere Bezeichnungen sind Satz von Kelvin-Stokes oder Rotationssatz .

Für eine kompakte Teilmenge M des <math>\mathbb{R}^n</math> und ein Vektorfeld F erhält man als einen weiteren wichtigen den Gaußschen Integralsatz .

Bedeutung

Der Satz von Stokes ist von Bedeutung in der Differentialgeometrie . Darüberhinaus finden er und seine Spezialfälle vielen Bereichen der Physik Anwendung beispielsweise in Elektrodynamik .



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