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Standardabweichung


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Dieser Artikel enthält mathematische Symbole die in Tabelle mit mathematischen Symbolen erklärt werden.


Die Standardabweichung ist eine Maßzahl der Streuung . Wird in der Statistik eine Auswertung über eine Menge von benötigt gibt die Standardabweichung ein sinnvolles Maß die Streuung um den Mittelwert an.

Sie heißt auch mittlerer Fehler oder r.m.s. error ( root mean square Fehler). Als mathematisches Zeichen sind σ s m.F. oder englisch rms üblich. Oft nennt man den mittleren auch Plus/minus (±) und schreibt ihn direkt hinter Mittel- bzw. Durchschnittswert . Letzterer wird oft mit MW oder Ø abgekürzt.

Inhaltsverzeichnis

Ein Beispiel (mit Schwankungsbreite)

Mittleres Alter (z. B. in einer Tanzschule ) = 17 5 ± 1 2
Beide Werte zusammen ergeben die
mittlere Schwankungsbreite MW ± s = 3 bis 18 7 Jahre.
Sie gilt im Falle normalverteilter Mengen (siehe Glockenkurve ) mit einer Wahrscheinlichkeit von 68 Prozent (jene von 2σ 95 %). Demnach lässt obige Schwankungsbreite erwarten

  • 16 % der Tanzschüler jünger als 3 Jahre sind (davon 2-3 % unter Jahre) und
  • 16 % älter als 18 7 (davon 2-3 % über 19 9 Jahre)
Unser Beispiel hat jedoch kaum Normalverteilung => vermutlich sind von den Kursteilnehmern mehr als 2 5 % älter als 20 Jahre.
  • Werte außerhalb der 2- bis 3fachen Standardabweichung nennt man Ausreißer ; sie deuten häufig auf grobe Fehler der Datenerfassung hin.

Mittlerer Fehler Streuung und Varianz

Die Standardabweichung (m. F.) ist die einer anderen Streuungsmaßzahl der Varianz . Sie hat gegenüber dieser den Vorteil sie die gleiche Einheit hat wie die Messwerte.

Wenn die Zahl der Kinder in einem untersucht wird so ist die Einheit der ein Quadratkind die Einheit der Standardabweichung aber ein Kind.

Mathematische Definition der Standardabweichung

<math>
 \sigma := \sqrt {\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N{(x_i-\mu)^2}}  
</math>

Dabei ist

  • <math>\sigma</math> die Standardabweichung
  • <math>\mu</math> der Erwartungswert
  • <math>N</math> der Umfang der Grundgesamtheit
  • <math>x_i</math> die Merkmalsausprägungen am <math>i</math>-ten Element Grundgesamtheit
<math>
 \mu := \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N{x_i}  
</math>

Die Standardabweichung <math>\sigma</math> der Grundgesamtheit kann einer Stichprobe auf verschiedene Weise geschätzt werden.

Gebräuchliche Formel zur Schätzung der Standardabweichung aus Stichprobe

<math>

 s = \sqrt {\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n{(X_i-\bar{X})^2}}  
</math>

Diese Formel ist eine Schätzung die keine besondere Eigenschaft ausgezeichnet ist. Sie ist erwartungstreu noch eine Maximum-Likelihood-Schätzung für die Standardabweichung. ist sie weit verbreitet.

  
Dabei ist
  • <math>s</math> die Schätzung für die Standardabweichung
  • <math>X_i</math> die Merkmalsausprägung am <math>i</math>-ten Element der
  • <math>\bar{X}</math> das arithmetische Mittelwert der Stichprobe (und die erwartungstreue Schätzung für den Erwartungswert).
  • <math>n</math> der Stichprobenumfang

Man hat bei einer Stichprobe fünf gemessen: 3 4 5 6 7
Man soll nun die Schätzung für Standardabweichung errechnen.

Mit Hilfe einer Arbeitstabelle kann die Summe der quadrierten Abweichungen Stichprobenmittelwert mit dem Wert 10 berechnet werden.

Um eine erwartungstreue Schätzung für die zu erhalten teilt man diese Summe durch Zahl der Messwerte n weniger 1.

Das ergibt die Schätzung für die 10/4 = 2 5

Daraus nimmt man die Quadratwurzel:

<math>\sqrt{2 5}\approx 1 581</math>

Das ergibt die gebräuchliche Schätzung für Standardabweichung von ca. 1 581.

Praktische Tipps

Um die Standardabweichung einer Messreihe mit Hand zu errechnen braucht man viel Zeit. geht es mit einer Tabellenkalkulation wie Excel. Auch die meisten Taschenrechner statistische Funktionen die eine Berechnung erleichtern. Siehe Kcalc unter KDE Linux oder der Taschenrechner unter Windows Zubehör mit der wissenschaftlichen

Faustformel

Zur schnellen Schätzung von <math>\sigma</math> sucht jenes Sechstel der Werte die am kleinsten bzw. größten sind. Die Standardabweichung ist dann die halbe Differenz der beiden Grenzwerte.

Erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung aus einer

<math>

 \hat{\sigma} = \sqrt{\frac{n-1}{2}} \frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)} {\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} s 
</math>

mit Bezeichnungen wie oben.

Der Korrekturfaktor ist in diesem Fall

<math> \sqrt{2} \frac{\Gamma\left(2\right)}{\Gamma\left(2 5\right)} \approx 1 </math>

und die erwartungstreue Schätzung für die ist damit näherungsweise 1 682

Korrekturfaktoren für die erwartungstreue Schätzung der
Stichprobenumfang Korrekturfaktor
2 1 253314
5 1 063846
10 1 028109
15 1 018002

Maximum-Likelihood-Schätzung für die Standardabweichung einer Normalverteilung

Die eindimensionale Normalverteilung kann unter anderem so dargestellt werden die Standardabweichung ein Parameter der Verteilung ist. dieser Schätzung kann die Eigenschaft der Maximum-Likelihood-Schätzung werden dass eine monotone Transformation einer Maximum-Likelihood-Schätzung Maximum-Likelihood-Schätzung für die monotone Transformation des geschätzten ist. Das bedeutet dass die Quadratwurzel einer eines Parameters der nur positiv sein kann Maximum-Likelihood-Schätzung für die Quadratwurzel dieses Parameters ist.

<math>

 \hat{\sigma}_{ML} = \sqrt {\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{(X_i-\bar{X})^2}}  
</math>

Diese Schätzung ist eine Maximum-Likelihood-Schätzung für Parameter der Normalverteilung oder für eine Transformation Parameters. Sie ist nicht auf die Schätzung Standardabweichung einer beliebigen Verteilung zu übertragen.

Die Maximum-Likelihood-Schätzung für die Standardabweichung einer Poisson-Verteilung ist beispielsweise die Quadratwurzel aus dem Mittel.

Als Maximum-Likelihood-Schätzung für die Standardabweichung aus Stichprobe {3 4 5 6 7} erhält also

<math>

 \hat{\sigma}_{ML} = \sqrt {\frac{1}{5} 10} = \approx 1 414  
</math>

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