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Stetigkeit


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Stetige Funktionen sind Funktionen mit weiter unten definierten Eigenschaften die in vielen Bereichen der Physik und Mathematik als besonders nützlich herausgestellt haben.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Im folgenden werden verschiedene Definitionen von angegeben:

"Naive" Definition von Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig wenn der Graph der Funktion auf ihrem Definitionsbereich "ohne des Stiftes" gezeichnet werden kann - also Funktionswerte keine Sprünge machen. Diese Definition von ist mathematisch nicht exakt wird aber gerne Anschauung benutzt.

Sie funktioniert nur bei Funktionen mit Veränderlichen und führt auch da mitunter zu falschen Ergebnis. Zum Beispiel ist die Funktion in ihrem Definitionsbereich R \{0} stetig da der Definitionsbereich aber eine hat muss man "den Stift absetzen" um kompletten Graphen zeichnen zu können.

Stetigkeit reellwertiger Funktionen

Reellwertige Funktionen zeichnen sich dadurch aus dass ihre Wertemenge eine Teilmenge der reellen Zahlen ist. Schränkt man den Funktionsbegriff auf Abbildung von reellen Zahlen in den Bereich reellen Zahlen ein (wie es i.A. in Schule gemacht wird) so ist die Stetigkeit f in einem Punkt <math> x_0 </math> dem f definiert ist folgendermaßen definiert:

<math> f:X\rightarrow Y \mbox{ stetig in x_0 :\Leftrightarrow \left( \forall\epsilon > 0\ \exists > 0 : \forall x \mbox{ mit - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - < \epsilon \right) </math>

<math> x x_0 </math> sind in Definition reelle Zahlen. Eine Abschwächung dieser Definition die Lipschitz-Bedingung .

Für spätere Verallgemeinerung wird im folgenden Zusammenhang mit allgemeinen metrischen und topologischen Räumen angegeben.

Topologischen Räume sind durch so genannte offene Mengen charakterisiert.

Eine offene Menge G auf der Zahlenachse ist dadurch charakterisiert dass um jeden Punkte ein offenes Intervall existiert das diesen Punkt enthält und ganz in der Menge G liegt. Ein Intervall wird über die euklidische Metrik d definiert:

<math> d(x x_0) = |x - </math>

Ein offenes Intervall um den Punkt x_0 </math> herum ist die Menge aller Zahlen x für die <math> |x - </math> kleiner als eine vorgegebene positive reelle ist.

Hierüber lassen sich dann die Eigenschaften Abbildungen zwischen topologischen Räumen motivieren (das wird unten definiert).

Beispiele

  • Sind f und g stetig mit einem gemeinsamen Definitionsbereich so sind auch f + g f - g f * g stetig. Ist <math>g(x)\ne 0</math> für alle x im Definitionsbereich dann ist auch f/g stetig.
  • Die Komposition zweier stetiger Funktionen f o g ist ebenfalls stetig.

Im folgenden bezeichne f: R -> R eine Funktion

  • f(x) = sin(x) ist für alle aus R stetig.
  • f(x) = cos(x) ist für alle aus R stetig.
  • f(x) = cos(x) + sin(x) ist alle x aus R stetig.
  • f(x) = <math> e^{cos(x)}</math> ist für x aus R stetig.

Im folgenden bezeichne f: D -> R eine Funktion von einer Teilmenge D von R nach R

  • f(x) = 1/x ist für x=0 nicht definiert. In der Schulmathematik sagt dann f wäre in der 0 unstetig der exakten Definition ist der Begriff der auf diese Stelle jedoch gar nicht anwendbar f ist also weder stetig noch unstetig der 0. f ist in seinem Definitionsbereich R \{0}) stetig.
  • f(x) = sin(x)/cos(x) ist stetig in Definitionsbereich d.h. in allen x aus R für die cos(x) ungleich 0 ist. bezeichnet f auch als tan .

Im folgenden bezeichne f: C -> C eine Funktion

  • f(z) = exp(z) ist für alle aus C stetig

(exp bezeichne die komplexe Exponentialfunktion exp(z) = <math> e^z </math>)

Stetige Funktionen zwischen metrischen Räume

Ein Funktion heißt stetig wenn sich ihr Funktionswert genügend wenig ändert solange man nur Funktionsargument genügend wenig ändert. Auch dies ist eine Beschreibung eine mögliche exakte Definition mittels Epsilon-Delta-Kriterium (auch Folgenkriterium genannt) ist folgende:

Seien (X d x ) (Y d y ) metrische Räume dann heißt

<math>

 f:X\rightarrow Y \mbox{ stetig in } :\Leftrightarrow \left( \forall\epsilon > 0\ \exists \delta 0 : \forall x \in U_\delta( x_0 \Rightarrow d_y( f(x) f(x_0) ) < \epsilon  
</math>

dabei bezeichnet U δ (x_0) die offene δ-Umgebung um x 0 d.h.

<math>

 U_\delta(x_0) = \{ x \in X d_x(x x_0) < \delta \} \quad . 
</math>

Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen

Noch allgemeiner lässt sich Stetigkeit zwischen topologischen Räumen wie folgt definieren (die Stetigkeit in Räumen ist eine Folgerung dieser Definition):

Sei f eine Abbildung von dem topologischen Raum X in den topologischen Raum Y . Dann heißt f stetig wenn das Urbild von f von jeder in Y offenen Menge U wieder offen in X ist oder etwas formaler:

<math>f:X\rightarrow Y \mbox{ stetig } :\Leftrightarrow \forall \ U\subset Y U \mbox{ offen } Y \Rightarrow f^{-1}(U) \mbox{ ist offen } X \right)</math>

Wichtige Sätze über stetige Funktionen

Satz 1 (Folgenkonvergenz stetiger reellwertiger Funktionen)

Sei f eine reellwertige Funktion die auf ihrem Definitionsbereich D(f) stetig ist D(f) sei eine Teilmenge der reellen Zahlen x_0 </math> sei aus dem Definitionsbereich von f

dann gilt für jede Folge reeller Zahlen <math> x_n </math> aus D(f) die gegen <math> x_0 </math> konvergiert dass die Folge der Funktionswerte <math> </math> gegen <math> f(x_0) </math> konvergiert.

Bemerkung zu Satz 1

Dieser Satz gilt auch für stetige zwischen beliebigen metrischen Räumen.



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