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Integration durch Substitution


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Mathematik > Analysis > Integralrechnung


Die Substitutionsregel ist ein wichtiges Hilfsmittel um Stammfunktionen und Integrale zu berechnen. Sie ist das Gegenstück Kettenregel in der Differentialrechnung .

Inhaltsverzeichnis

Substitution eines bestimmten Integrals

Wenn f ( x ) eine integrierbare Funktion ist und φ( t ) eine stetig differenzierbare und streng monotone Funktion die im Intervall [ a b ] definiert ist und deren Bildbereich im von f ist. Dann gilt

<math>
\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x)\ dx = \int_{a}^{b} f(\phi(t)) dt </math>

Diese Formel wird benutzt um ein in ein anderes Integral zu transformieren dass zu bestimmen ist.

Beispiel

Berechnung des Integrals

<math>
\int_{0}^2 t \cos(t^2+1) \ dt </math>

Durch die Substitution x = t 2 + 1 erhalten wir dx = 2 t dt und

<math>
\int_{0}^2 t \cos(t^2+1) \ dt = \int_{0}^2 \cos(t^2+1) 2t \ dt = \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1)). </math> Man beachte dass untere Grenze des Integrals t = 0 in x = 0 2 + 1 = 1 umgewandelt wurde die obere Grenze t = 2 in x = 2 2 + 1 = 5.

Berechnung des Integrals:

<math>
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\; dx </math> Man substitutiert x = sin( t ) dx = cos( t ) dt weil √(1-sin 2 ( t )) = cos( t ):
<math>
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\; dx = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-\sin^2(t)} = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(t)\;dt </math> Das Ergebnis kann Partieller Integration berechnet werden.

Substitution eines unbestimmten Integrals

Wenn f ( x ) eine integrierbare Funktion ist und φ( t ) eine stetig differenzierbare und streng monotone Funktion deren Bildbereich im Wertebereich von f ist. Dann gilt

<math>
\int f(x)\ dx = \int f(\phi(t)) dt </math>

Nachdem man eine Stammfunktion der substituierten bestimmt hat macht man die Substitution rückgängig erhält eine Stammfunktion der ursprünglichen Funktion.

Beispiel

Mit der Substition <math>x = u-1</math> man

<math>\int \frac{1}{x^2+2x+2}\ dx = \int \frac{1}{1+u^2}\ du \arctan u + C = \arctan(x+1) +



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