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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMittwoch, 18. September 2019 

Surjektivität


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Surjektivität ( surjektiv ) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion . Sie tritt auf wenn jedes Element Wertemenge durch die Funktion abgebildet wird d.h. Element der Wertemenge hat mindestens ein Urbild . Eine surjektive Funktion ist also (als Relation gesehen) links- und rechtstotal.

Definition

Sei <math>f</math> eine Funktion von <math>X</math> <math>Y</math>. <math>f : X \to Y</math>

<math>f</math> ist surjektiv wenn für alle <math>y \in Y</math> mindestens ein <math>x \in X</math> mit <math>f(x) = existiert.
( mindestens eins bedeutet eins oder mehr als eins )

Beispiele in unterschiedlicher Darstellungsform


Mengenkastendarstellung.


Mengenkastendarstellung.


Mengenkastendarstellung.


Mengenwolkendarstellung.
   

Beispiele und Gegenbeispiele

Die Funktion f : R R mit

<math>f(x)=2x+1</math>
ist surjektiv denn für jede reelle y finden wir (mindestens) ein Urbild: Wir die Gleichung <math>y=2x+1</math> nach x auf und erhalten
<math>x=(y-1)/2</math>.
Dieses Berechnen von x reicht aber im allgemeinen nicht als Man muss die Probe machen: In der Tat ist
<math>f((y-1)/2) = 2(y-1)/2+1 = y</math>.

Die Sinus -Funktion sin: R → [-1 1] ist surjektiv. Jede Gerade y = y 0 mit -1 ≤ y 0 ≤ 1 hat unendlich viele Schnittpunkte dem Graph der Funktion.

Die Sinus-Funktion sin: R R ist jedoch nicht surjektiv da z.B. Gerade y = 2 keinen Schnittpunkt mit dem hat.

Vergleich

Injektivität Bijektivität



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