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Teilbarkeit


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Teilbarkeit ist eine algebraische Eigenschaft von ganzen Zahlen . Eine ganze Zahl a teilt eine Zahl b genau dann wenn es mindestens eine Zahl n gibt für die gilt: a · n  =  b . Man sagt dann auch " a ist Teiler von b " " b ist teilbar durch a " und schreibt formal a  |  b .

Zum Beispiel gilt also 3 | 6 -2 | 8 und 5 | 0.
Weiterhin gilt: 0 | 0 (gefordert dass es mindestens eine ganze Zahl n gibt mit 0 · n  =  0 ; diese Forderung wird beispielsweise durch die erfüllt).
Die Zahlen 1 und -1 sind Teiler jeder ganzen Zahl jede ganze Zahl ein Teiler der 0.

Weitere Begriffe zur Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Ist n eine natürliche Zahl und d ein Teiler von n der größer als 1 und kleiner n ist dann nennt man d einen echten Teiler von n . Eine natürliche Zahl ohne echte Teiler man Primzahl . Einen Teiler d von n der eine Primzahl ist nennt man Primteiler von n .

Jeder Teiler einer natürlichen Zahl n ist ein Produkt von Potenzen von von n ; dies folgt z.B. aus dem Fundamentalsatz der Arithmetik . Zur Bestimmung der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen benutzt man verschiedene Faktorisierungsverfahren .

Die natürlichen Zahlen sind mit der Teilbarkeitsrelation eine halbgeordnete Menge sogar ein vollständiger distributiver Verband dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist 1 (1 teilt jedes andere) das größte die 0 (0 wird von jedem anderen

Teilbarkeitsregeln

Für die Teilbarkeit ganzer Zahlen gibt eine Reihe von Teilbarkeitsregeln.

Die folgenden basieren auf der üblichen der Zahlen im Zehnersystem :

  • Eine Zahl ist durch 2 teilbar genau dann wenn ihre letzte gerade ist (0 2 4 6 oder
  • Eine Zahl ist durch 3 teilbar genau dann wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 4 teilbar genau dann wenn die Zahl aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird 4 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar genau dann wenn ihre letzte durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
  • Eine Zahl ist durch 6 teilbar genau dann wenn sie durch und durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 8 teilbar genau dann wenn die Zahl aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird 8 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 9 teilbar genau dann wenn ihre Quersumme 9 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 10 teilbar genau dann wenn ihre letzte eine 0 ist.
  • Eine Zahl ist durch 11 teilbar genau dann wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 12 teilbar genau dann wenn sie durch und durch 4 teilbar ist.

  • Für die Teilbarkeit durch 7 und 13 sind im Artikel Quersumme Regeln angegeben die mit gewichteten Quersummen
  • Eine Zahl ist durch 2 n teilbar genau dann wenn die Zahl aus ihren letzten n Ziffern gebildet wird durch 2 n teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 5 n teilbar genau dann wenn die Zahl aus ihren letzten n Ziffern gebildet wird durch 5 n teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 10 n teilbar genau dann wenn ihre letzten n Ziffern jeweils 0 sind.

Die folgenden Teilbarkeitsregeln beziehen sich auf Stellenwertsysteme :

  • Eine Zahl ist durch eine Zahl Form 2 n -1 teilbar genau dann wenn bei der zur Basis 2 n die Quersumme durch 2 n -1 teilbar ist. Die Darstellung zur Basis n ergibt sich aus der Binärdarstellung indem die Bits rechts beginnend in von n Bit eingeteilt werden. Zum Beispiel ist durch 7 teilbar weil 91 = 001 011 2 = 133 8 die Quersumme 111 2 = 7 hat.
  • Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann wenn ihre Quersumme Basis 1000 durch 27 teilbar ist. Diese kann man erhalten indem man ihre dezimale rechts beginnend in Dreierblöcke einteilt und die dieser Blöcke bildet.
  • Eine Zahl ist durch n teilbar genau dann wenn ihre Darstellung n -adische Zahl mit einer 0 endet.

Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie) .

Verallgemeinerung

Diesen Teilbarkeitsbegriff kann man auf kommutative erweitern. Ein Ring ist eine algebraische Struktur der ähnlich wie in ganzen Zahlen Addition und Multiplikation definiert sind und eine allgemeine Subtraktion als Umkehr der Addition möglich ist eine genaue Definition siehe der Artikel über Ringtheorie ). Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:

Ist R ein kommutativer Ring und sind a b R Ringelemente dann ist a ein Teiler von b falls ein weiteres Ringelement n R existiert mit a · n  =  b .

In Ringen teilt a genau dann b wenn das von a erzeugte Hauptideal ( a ) das von ( b ) erzeugte umfasst formal: a  |  b  ⇔ ( a ) ⊃ ( b ).

Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Das von 2 erzeugte Hauptideal (2) ist Menge aller Vielfachen von 2 (4) dementsprechend Menge aller Vielfachen von 4. (4) ⊃ (2) also 2 | 4.

Meist macht man Teilbarkeitsuntersuchungen in kommutativen die eine neutrales Element 1 enhalten und nullteilerfrei sind diese Ringe heißen Integritätsringe .

In Strukturen in denen auch eine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist Körper und Schiefkörper ) wie beispielswiese in den reellen Zahlen ist die Theorie der Teilbarkeit trivial: Zahl (bzw. jedes Körper-Element) ist durch jede Zahl außer 0 teilbar.

siehe auch:




Bücher zum Thema Teilbarkeit

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