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Tensor


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Ein Tensor ( lat. : tendo ich spanne) bezeichnet in der Mathematik eine multilineare Abbildung die bestimmte Transformationseigenschaften ( s.u. ).

Wenn eine Basis in einem Vektorraum vorgegeben ist kann man Tensoren als Anordnung Zahlen (bzw. Skalare) je nach ihrer Stufe (auch Rang genannt) darstellen:

  • Ein Tensor nullter Stufe als einen Skalar .
  • Ein Tensor erster Stufe als einene Vektor .
  • Ein Tensor zweiter Stufe läßt sich in Form einer Matrix darstellen.
  • Bei einem Tensor dritter Stufe ist ein Darstellung in Form Würfels mit ganzzahliger Kantenlänge vorstellbar wobei an ganzzahligen Punkt des Würfels ein Skalar angesiedelt
  • Tensoren höherer Stufe kann man analog mit Würfeln definieren.

Umgekehrt definiert jedes dieser Gebilde (Skalar Matrix..) bei fixierter Basis einen Tensor der jeweiligen Stufe. Wichtig Tensoren ist jedoch nicht ihre konkrete Darstellung das Transformationsverhalten von einer Basis in eine Die Grundidee bei Tensoren ist es Eigenschaften vom Koordinatensystem (d.h. Basis) zu untersuchen.

Es gibt zwei Arten wie sich bei Basiswechsel transfomieren: entweder kovariant oder kontravariant. ist auch der Grund warum eine Matrix Tensoren zweiter Stufe nicht identisch sind: Zwar beide in einer gegebenen Basis dieselbe Form haben nach einer Transformation in eine anderen muss dies nicht mehr der Fall sein.

Eine Abbildung die jedem Punkt eines (oder einer Mannigfaltigkeit ) einen Tensor zuordnet nennt man in Mathematik Tensorfeld . Viele Physiker verwenden allerdings ebenfalls den Tensor gleichbedeutend mit Tensorfeld .

Inhaltsverzeichnis

Bedeutung der Tensoren

Die physikalische Bedeutung der Tensoren begründet sich unter in der Möglichkeit hierüber forminvariante Gleichungen definieren können. Damit haben zum Beispiel Naturgesetze die durch Tensorgleichungen ausgedrückt werden in Koordinatensystemen die gleiche Form (Gestalt).

Dies war eines der treibenden Motive Einstein zur Schaffung der Allgemeinen Relativitätstheorie angeregt haben.

Beispiele von Tensoren

Der Begriff des Tensors wurde zuerst für den mechanischen Deformation- sowie Spannungstensor eingeführt.

In der Relativitätstheorie sind Tensors ein unerlässliches Hilfsmittel etwa so genannte metrische Tensor .

Ein weiteres Beispiel ist der elektrodynamische Feldstärketensor . Er ermöglicht eine kompakte Darstellung der Maxwellgleichungen .

In der klassischen (nichtrelativistischen) Mechanik beschreibt Trägheitstensor die trägen Eigenschaften eines starren Körpers Rotation . Dabei ist man in der Regel durch Hauptachsentransformation ein geeignetes Koordinatensystem zu wählen in der der Trägheitstensor hat.

Praktische Bedeutung haben die Tensoren bei Festigkeitsberechnung von Stahlbauprofilen . Die Größen der Flächenträgheitsmomente und der lassen sich mit Hilfe der Tensorrechnung tranformieren. gleiche gilt für die Normalspannungen und den Schubspannungen innerhalb eines belasteten

Der Energie-Impuls-Tensor ist Bestandteil der Einsteinschen Feldgleichungen . Hier liegt eine echte Tensorgleichung vor den Riemannschen Krümmungstensor mit dem Metrischen Tensor und dem verknüpft.

Allerdings reduziert sich diese Tensorgleichung im der "flachen Metrik " zu der trivialen Form 0 =

Die "flache Metrik" beschreibt den Minkowskiraum .

Spezielle Energie-Impuls-Tensoren werden in der Kosmologie verwendet. Sie ermöglichen Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen und damit eine Beschreibung der Dynamik Kosmos.

Tensoren und reine Mathematik

In der "reinen Mathematik" sind Tensoren Bereich der multilinearen Algebra "anzusiedeln". Sie werden bei der Beschreibung Mannigfaltigkeiten verwendet.

Man definiert einen Tensor der Varianz s) als multilineare Abbildung mit s Argumenten v_1 ...v_s </math> und r Argumenten <math> ... \lambda^r. v_1 ... v_s </math> sind eines Vektorraumes und <math> \lambda^1 ... \lambda^r </math> des zum Vektorrraum gehörenden Dualraumes .

Der Tensor hat dann die Form T(v_1 ...v_s \lambda^1 ... \lambda^r) </math>

Die Summe r + s heißt Stufe des Tensors.

Der durch den nachfolgenden Link referenzierte vergleicht die in der Physik verwendeten Tensoren der rein mathematischen Definition.

Weblinks



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