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Theoretische Elektrotechnik


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Die Theorie der Felder und Wellen von vielen auch Theoretische Elektrotechnik genannt beschäftigt sich mit der ingenieursmäßigen von elektromagnetischen Feldern und Wellen.

Inhaltsverzeichnis

Anwendungen

In vielen Bereichen der Elektrotechnik ist ein Verständnis beziehungsweise ein tieferer in die Theorie der Felder und Wellen In der Energietechnik sind es die Gebiete Hochspannungstechnik Elektrische Maschinen und Energieversorgung die sich insbesondere mit auseinandersetzen müssen. Die Nachrichtentechniker brauchen insbesondere auf dem Gebiet der Hochfrequenztechnik Kenntnisse über die physikalischen Vorgänge von Auch die Mikroelektronik braucht sie auf dem Gebiet integrierte Ebenso wichtig ist sie für elektrische RLC-Netzwerke.

Die Elektrostatik

Geschichte

Die Kraftwirkung zwischen lokalisierten Körpern war schon im Griechenland bekannt. Die Eigenschaft der Materie wurde dem Begriff "elektrische Ladung" in Verbindung gebracht.

Bei Experimenten mit zum Beispiel dem Elektroskop oder Elektrometer konnte festgestellt werden dass zwei verschiedene Arten elektrischer Ladung gibt. Die Art nennt man positive und die andere Ladung. Des weiteren wurde festgestellt dass geladene Kräfte aufeinander ausüben. Dabei stoßen sich gleichnamige ab während sich ungleichnamige Ladungen anziehen.

Viele Experimete zeigten dass elektrische Kraftwirkungen räumlich nicht lokalisiert sind. M. Faraday gelang es erstmals physikalische Felder zur Beschreibung elektromagnetischer Vorgänge heranzuziehen. J. C. Maxwell gelang die mathematische Charakterisierung mit mathematisch und vektoriellen Feldern. Zunächst wurden diese physikalischen mit kleinen Probekörpern ausgemessen. Die physikalischen Systeme dabei "feldmäßig" gedeutet durch Energie-Impuls-Transporte vergleichbar mit im Gravitationsfeld.

<math>\mathrm{d}E=\underbrace{\vec v\cdot\mathrm{d}\vec p}_{\mathrm{Energie\ des\ Probekoerpers}}+\underbrace{(-F)\cdot\mathrm{d}\vec r}_{\mathrm{Energie\ des\ Feldes}}</math>

C. A. de Coulomb stellte mit der nach ihm benannten die Größen in folgenden Zusammenhang. Die Kraft man Coulomb-Kraft. Durch sie wird die Fernwirkung der Ladung Q auf die Probeladung beschrieben.

<math>\vec F(\vec r)=\gamma\cdot\frac{Q\cdot q}{r^2}\ \vec e_r</math>

Die Interpretation des elektrischen Feldes im des Nahwirkungsprinzips erreicht man durch einführung eines Feldes. Dem physikalischen elektrischen Feld wird weiteres mathematisches Feld zugeordnet.

Satz von H. L. F. von Helmholtz : ein (mathematisches) vektorielles Feld (mit bestimmten wird i.w. durch das zugeordnete skalare Feld div(.) und das vektorielle Feld rot(.) eindeutig festgelegt.

Das legt nahe dass <math>\vec D</math> wirbelfreies Quellenfeld ist. Das Maß für die ist div(.) und das Maß für die Wirbel rot(.) .

<math>\mathrm{div}(\vec D)(\vec r):=\rho(\vec r)\qquad \mathrm{rot}\vec D:=0 </math>

Poisson-Differentialgleichung

Die nach S. D. Poisson benannte Poisson-Differentialgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen Ladungsdichteverteilung ρ und dem von ihr erzeugten Potential <math>\varphi</math> für den Fall dass <math>\varepsilon</math> den Raum konstant ist.

<math>\triangle\varphi(\vec r)=-\frac{\rho(\vec r)}{\varepsilon}</math>

Laplace-Differentialgleichung

Für den ladungsfreien Raum folgt aus Poisson-Differentialgleichung die nach P. S. M. de Laplace benannte Laplace-Differentialgleichung.

<math>\triangle\varphi(\vec r)=0</math>

Lösung der Differentialgleichungen

Die schwierigste Aufgabe für den Ingenieur es diese Differentialgleichungen geeignet zu lösen. Wichtig zu erkennen welche geeigneten Vereinfachungen getroffen werden um ans Ziel zu gelangen.

Der Ingenieur bedient sich vielfach numerischer Verfahren.

Eindeutigkeitssatz

(G. Wunsch S. 122): "Die große Bedeutung eines Eindeutigkeitssatzes liegt darin dass es ist welche Lösungsmethode man zur Lösung der Differentialgleichung verwendet.

Wenn es gelingt auf irgendeine Weise Beispiel durch ein "Probierverfahren" auf der Grundlage mathematisch nicht weiter legitimierten Lösungsansatzes) eine (partikuläre) einer Differentialgleichung zu finden die die geforderten annimmt so ist damit die einzige Lösung Problems gefunden. Es ist dann unwichtig wie Lösung im einzelnen ermittelt wurde."

Weitere Verfahren zur Lösung der Potentialgleichungen

Separation der Variablen : der räumliche Bereich G und der Operator werden auf nicht-kartesische Koordinaten bezogen so die Koordinatenflächen zu Randflächen von G werden approximativ).

Produktansatz : nach der Separation wird in diesen ein Ansatz der folgenden Form gemacht.

<math>\varphi(x y z)=\varphi_x(x)\cdot\varphi_y(y)\cdot\varphi_z(z)</math>

Ausnutzung bekannter Lösungen der Poisson- beziehungsweise

  • Überlagerung von Elementarfeldern
  • Spiegelungsmethode
  • Kelvin Transformation und konforme Abbildungen
  • Funktionaltransformation

Spezialfälle

Multipolentwicklung

Ausgangspunkt: Die spezielle Lösung der Poisson-Differentialgleichung

<math>\varphi(\vec r)=\frac{1}{4\cdot\pi\cdot\varepsilon}\iiint_V\frac{\rho(\vec\tilde{r})}{\Vert\vec r-\vec\tilde{r}\Vert}\;d\tilde{V}</math>
Taylorreihen Entwicklung von <math>\frac{1}{\Vert\vec r-\vec\tilde{r}\Vert}</math>
<math>\varphi(\vec r)\approx\underbrace{\frac{Q_{ges}}{4\cdot\pi\cdot\varepsilon\cdot\Vert\vec r\Vert}}_{\mbox{Monopolnäherung}}+\underbrace{\frac{\vec r\cdot P_1}{4\cdot\pi\cdot\varepsilon\cdot\Vert\vec r\Vert^3}}_{\mbox{Dipolnäherung}}</math>

Das Strömungsfeld

Magnetische Felder in statischer Näherung

Verallgemeinerung Biot-Savart-Laplace Gesetz

Das Biot-Savart-Laplace-Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Ladungsstromdichteverteilung <math>\vec J</math> und dem von ihr Magnetfeld <math>\vec B</math>:

<math>\vec B(\vec r)=\frac{\mu}{4\cdot\pi}\iiint_V\frac{\vec J(\vec\tilde{r})\times(\vec r-\vec\tilde{r})}{\Vert\vec r-\vec\tilde{r}\Vert^3}\;d\tilde{V}</math>

Hilfsgröße <math>\vec A</math>

<math>\triangle\vec A=-\mu\cdot\vec J(\vec r)</math>

Coulomb-Eichung

<math>\mbox{div}\;\vec A=0</math>
aber:
<math>\vec B=\mbox{rot}\;\vec A</math>

Das Induktionsgesetz

Die vollständigen Maxwellschen Gleichungen

Mit den vollständigen Maxwellschen Gleichungen lassen sich alle Felder und Wellen Theoretischen Elektrotechnik beschreiben. Sie lassen sich mit Satz von Gauss und Stokes sowohl in als auch in integraler Schreibweise ausdrücken.

Lorenz-Eichung

<math>\mbox{div}\;\vec A+\mu\cdot\varepsilon\cdot\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0</math>

Pointing-Vektor

<math>\vec S=\vec E\times\vec H</math>

Materialgleichungen

Die Beziehungen zwischen <math>\vec D</math> und E\qquad\vec B</math> und <math>\vec H\qquad\vec J</math> und E</math> werden durch die Materialgleichungen der Elektrodynamik beschrieben.

Weblinks

Literatur

  • G. Wunsch H.-G. Schulz: Elektromagnetische Felder. Verlag Technik Berlin 1996 ISBN 33-41011-55-2



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