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Topologie (Mathematik)


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Die Topologie als Teilgebiet der Mathematik beschäftigt sich mit denjenigen Eigenschaften eines die unter Verformungen erhalten bleiben. Diese Eigenschaften man auch "die Topologie" des Gegenstands. Eine auf der eine Topologie definiert ist ist topologischer Raum .

Für die Verwendung des Begriffs Topologie in Kontext siehe die Begriffsklärungsseite Topologie . Für Begriffserklärungen aus der mathematischen Topologie das Topologie-Glossar .

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Eine Verformung im Sinne der Topologie Homöomorphismus . Dazu gehört das Dehnen Stauchen Verbiegen Verdrillen eines Gegenstands; das Zerschneiden aber nur man ihn später an genau der Schnittfläche zusammenklebt. Zum Beispiel haben eine Kugel und Glas dieselbe Topologie; sie sind homöomorph. Ebenso ein Torus und eine einhenkelige Tasse homöomorph.

Der axiomatische Aufbau der modernen Topologie auf dem grundlegenen Konzept der "Nachbarschaft" formalisiert offene Umgebung . Neben offen und abgeschlossen gibt es als weitere fundamentale topologische stetig kompakt separabel zusammenhängend dicht abzählbar . Neben der Algebra kann die Topologie als zweiter Stützpfeiler alle anderen Felder der Mathematik angesehen werden; ist besonders wichtig für die Geometrie die Analysis ( Maß- und Integrationstheorie) die Funktionalanalysis die Theorie der Lie-Gruppen die Graphentheorie usw.

Untergebiete der Topologie sind die algebraische Topologie die Differentialtopologie.

Geschichtliche Notiz

Die Lösung des Sieben-Brücken-Problems von Königsberg durch Leonhard Euler im Jahr 1736 gilt als die erste topologische und als die erste graphentheoretische Arbeit in der Geschichte der Mathematik.

Maurice Fréchet führte 1906 den metrischen Raum ein.

Georg Cantor befasste sich mit den Eigenschaften offener geschlossener Intervalle untersuchte Grenzprozesse und begründete dabei die moderne Topologie und die Mengentheorie . Die Topologie ist der erste Zweig Mathematik der konsequent mengentheoretisch formuliert wurde - gab dabei umgekehrt den Anstoß zur Ausformung Mengentheorie.

Felix Hausdorff prägte 1914 den Begriff "topologischer Raum" und definierte heute so genannten Hausdorff-Raum . Die heutige Definition eines topologischen Raums 1922 von Kazimierz Kuratowski eingeführt.

Beispiele / alter Text

Die Topologie formalisiert den Begriff der (besser: Umgebung. Oder: infinitesimale Nähe).

Als Beispiel betrachte man z.B. die der ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> und die der rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math>. Da es bijektive Abbildungen zwischen <math>\mathbb{Z}</math> und <math>\mathbb{Q}</math> gibt sind als Mengen ununterscheidbar. Aber die topologische Struktur für beide Objekte anders aus: In <math>\mathbb{Z}</math> alle Punkte diskret d.h. im Gegensatz zu gibt es um jeden Punkt eine kleine in der kein weiterer Punkt liegt. Natürlich man die ganzen und die rationalen Zahlen durch ihre algebraische Struktur unterscheiden.

In unserem Beispiel kann man für zwei Punkte aus <math>\mathbb{Z}</math> oder <math>\mathbb{Q}</math> den Abstand angeben . Eine Umgebung eines Punktes <math>p</math> besteht mindestens aus den Punkten deren Abstand zu <math>p</math> kleiner eine Zahl <math>c</math> ist. Auf den ganzen gibt es also kleine Umgebungen die keinen Punkt enthalten während für die rationalen Zahlen Umgebung eines Punktes unendlich viele weitere Elemente <math>\mathbb{Q}</math> enthält unabhängig davon wie klein die <math>c</math> und damit die Umgebung gewählt wird.

Während die beiden obigen Beispiele den des Abstandes verwenden besteht die Leistung der Topologie darin das Konzept der Nähe auf Kern reduziert zu haben.

Dies gelingt indem man statt der nur noch die Menge aller Umgebungen betrachtet in einer beliebigen Menge <math>M</math> zu jedem einen Satz von Teilmengen auswählt die man die Umgebungen dieses Punktes definiert). Man findet viele Beispiele von topologischen Räumen auf denen nicht mehr möglich ist den Abstand zwischen Punkten anzugeben.

Es gibt zwei Gründe die für Betrachtung dieser Struktur sprechen: Zunächst gibt es Beispiele von Räumen auf denen keine Abstandsfunktion werden kann (z.B. manche Quotientenräume). Andererseits ist oft nicht an dem konkreten Abstand interessiert: stelle sich einen Körper im <math>\mathbb{R}^3</math> vor man ausbeult und verformt (ohne ihn aber zerreißen). Der Abstand zweier Punkte in diesem hat sich geändert aber wichtige Grundeigenschaften sind z.B. kann man zwei Punkte die man der Verformung verbinden konnte auch weiterhin verbinden ein Punkt im Innern des Körpers bleibt Innern.

Nicht jede Abbildung zwischen topologischen Räumen verträglich mit der zusätzlichen Struktur (z.B. gibt bijektive Abbildungen zwischen den ganzen und den Zahlen aber die beiden Räume sehen ganz aus). Eine Abbildung ist in diesem Sinne und wird stetig genannt "wenn sie die Nähe erhält". Funktion <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> die <math>x\ne 0</math> auf <math>0</math> <math>0</math> auf <math>1</math> abbildet ist z.B. nicht denn Zahlen die "in der Nähe von liegen" werden "weit weg" von <math>f(0)</math> abgebildet.

Die mengentheoretische Topologie erlaubt die Konstruktion sehr vielen Pathologien. Dies macht sie in größten Allgemeinheit zu einem relativ fruchtlosen Gebiet. beschäftigen sich deshalb mit spezielleren Räumen z.B. Mannigfaltigkeiten oder CW-Komplexen.

Weiterführende Informationen

Mathematical Subject Classification: 54-XX

Literatur

Weblinks




Bücher zum Thema Topologie (Mathematik)

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