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Topologischer Raum


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topologischer Raum
berührt die Spezialgebiete
ist Spezialfall von
umfasst als Spezialfälle

Ein Topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik . Er besteht aus einer beliebigen Grundmenge der durch Spezifizierung einer so genannten Topologie eine abstrakte mathematische Raumstruktur aufgeprägt wird.

Inhaltsverzeichnis

Definition


Eine Topologie ist eine Familie <math>\mathfrak{T}</math> von als offen bezeichneten Teilmengen der Grundmenge X (und ist damit eine Teilmenge der Potenzmenge von X ) die folgenden Axiomen genügt:

  • Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.
  • Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen eine offene Menge.
  • Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen eine offene Menge.

Eine Menge X zusammen mit einer Topologie auf X heißt topologischer Raum . Eine Teilmenge von X deren Komplement offene Menge ist heißt abgeschlossen .

Eine Topologie <math>\mathfrak{T}1</math> ist feiner als eine Topologie <math>\mathfrak{T}2</math> wenn jede Menge von <math>\mathfrak{T}2</math>auch offen in <math>\mathfrak{T}1</math> ist. heißt dann gröber als <math>\mathfrak{T}1</math>.

Weitere Begriffe im Zusammenhang mit topologischen sind im Topologie-Glossar zusammengefasst.

Beispiele

  1. Auf jeder Grundmenge existieren als triviale Beispiele Topologien:
    1. Die indiskrete Topologie die nur die Menge und die Grundmenge enthaelt.
    2. Die indiskrete Topologie die alle Teilmengen
  2. Das System der offenen Teilmengen eines metrischen Raums ist eine Topologie.

Sprechweise

Im Hinblick auf geometrische Anwendungen werden die Elemente der Grundmenge als Punkte bezeichnet.

Umgebungen eines Punktes werden dann definiert als von offenen Mengen die den Punkt enthalten.

Umgekehrt charakterisieren die Umgebungen die offenen

  • Eine Menge ist offen genau dann sie mit jedem ihrer Punkte auch eine dieses Punktes enthält. (Dieser Satz erklärt die des Wortes offen für den oben definierten mathematischen Begriff.)

Literatur

H. Schubert: Topologie Teubner Stuttgart 1964 ISBN 3519122006

Links

Weitere mathematische Räume siehe unter Raum (Mathematik)



Bücher zum Thema Topologischer Raum

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